Question

18．宇航員在某半徑為R的星球表面以一定的初速度豎直上拋一個(gè)小球，小球經(jīng)時(shí)間t落回拋出點(diǎn)，然后宇航員又在其高h(yuǎn)處，以大小相同的速度沿水平方向拋出一小球，測出拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的水平距離為L，已知引力常量為G．
（1）求該星球的質(zhì)量M．
（2）欲使小球不再落回星球的表面，至少應(yīng)以多大的速度拋出該小球？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球豎直上拋運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力與重力相等求得該星球的半徑；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得該星球上的第一宇宙速度．

解答 解：（1）令小球上拋的初速度為v，則根據(jù)豎直上拋有：
$\frac{2v}{g}=t$①
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
$v\sqrt{\frac{2h}{g}}=L$②
由①②兩式解得，$g=\frac{2{L}_{\;}^{2}}{h{t}_{\;}^{2}}$
在星球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
解得星球質(zhì)量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2{L}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{Gh{t}_{\;}^{2}}$
（2）欲使小球不再落回星球的表面，拋射速度即第一宇宙速度
$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2{L}_{\;}^{2}R}{h{t}_{\;}^{2}}}$
答：（1）求該星球的質(zhì)量M為$\frac{2{L}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{Gh{t}_{\;}^{2}}$．
（2）欲使小球不再落回星球的表面，至少應(yīng)速度$\sqrt{\frac{2{L}_{\;}^{2}R}{h{t}_{\;}^{2}}}$拋出該小球

點(diǎn)評 解決問題的關(guān)鍵手點(diǎn)是在星球表面重力與萬有引力相等，萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，難在與豎直上拋運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，考查知識點(diǎn)較多．