Question

11．一細(xì)桿與水桶相連，水桶中裝有水，水桶與細(xì)桿一起在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，水的質(zhì)量m=0.5kg，水的重心到轉(zhuǎn)軸的距離l=50cm．
（1）若在最高點(diǎn)水不流出來(lái)，求桶的最小速率；
（2）若在最高點(diǎn)水桶的速率v=3m/s，求水對(duì)桶底的壓力．

Answer 1

分析 （1）以水桶中的水為研究對(duì)象，在最高點(diǎn)恰好不流出來(lái)，說(shuō)明水的重力恰好提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律列式求解；
（2）桶中的水為研究對(duì)象，對(duì)它進(jìn)行受力分析，找出它做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的來(lái)源，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立方程即解．

解答 解：（1）以水桶中的水為研究對(duì)象，在最高點(diǎn)恰好不流出來(lái)，說(shuō)明水
的重力恰好提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，此時(shí)桶的速率最�。�
此時(shí)有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
則所求的最小速率為：v₀=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.5}$=2.42m/s
（2）在最高點(diǎn)，水所受重力mg的方向豎直向下，此時(shí)水具有向下的向心加速度，處于失重狀態(tài)，其向心加速度的大小由桶底對(duì)水的壓力和水的重力決定．
由向心力公式F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$知，當(dāng)v增大時(shí)，物體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力也隨之增大，由于v=3m/s＞v₀=2.42m/s，因此，當(dāng)水桶在最高點(diǎn)時(shí)，水所受重力已不足以水做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，此時(shí)桶底對(duì)水有一向下的壓力，設(shè)為F_N，則由牛頓第二定律有：
F_N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
即F_N=m$\frac{{v}^{2}}{r}$-mg
代入數(shù)據(jù)可得F_N=2.6N．
答：（1）若在最高點(diǎn)水不流出來(lái)，桶的最小速率為2.42m/s；
（2）若在最高點(diǎn)水桶的速率v=3m/s，水對(duì)桶底的壓力為2.6N．

點(diǎn)評(píng) 解決圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵分析物體受力，確定向心力的來(lái)源，再運(yùn)用牛頓第二定律列式求解即可，注意彈力的方向，對(duì)繩模型注意最高點(diǎn)只能是向下的彈力．