Question

7．2016年10月17日，神舟十一號(hào)飛船發(fā)射成功，并于10月19日與天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室成功實(shí)現(xiàn)自動(dòng)交會(huì)對(duì)接，形成組合體，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題便于研究，將神舟十一號(hào)與天宮二號(hào)的組合體繞地球的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)（如圖所示）．地面觀測(cè)站測(cè)得它們運(yùn)行的線速度大小為v，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g．求：
（1）神舟十一號(hào)與天宮二號(hào)的組合體距離地面的高度h； 
（2）神舟十一號(hào)與天宮二號(hào)的組合體的運(yùn)行周期T．

Answer 1

分析 （1）神舟十一號(hào)與天宮二號(hào)的組合體繞地球的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，由此列式．在地球表面上，物體的重力等于萬(wàn)有引力，由此列式，聯(lián)立可求得組合體距離地面的高度h； 
（2）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)線速度與周期的關(guān)系式求神舟十一號(hào)與天宮二號(hào)的組合體的運(yùn)行周期T．

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，神舟十一號(hào)與天宮二號(hào)組合體的質(zhì)量為m．
根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
質(zhì)量為m′的物體，在地球表面上，有：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
聯(lián)立解得：h=$\frac{g{R}^{2}}{{v}^{2}}$-R
（2）根據(jù)周期與線速度的關(guān)系式得：v=$\frac{2π（R+h）}{T}$
得：T=$\frac{2πg(shù){R}^{2}}{{v}^{3}}$
答：（1）神舟十一號(hào)與天宮二號(hào)的組合體距離地面的高度h是$\frac{g{R}^{2}}{{v}^{2}}$-R； 
（2）神舟十一號(hào)與天宮二號(hào)的組合體的運(yùn)行周期T是$\frac{2πg(shù){R}^{2}}{{v}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是掌握衛(wèi)星問(wèn)題的兩條基本思路：萬(wàn)有引力等于向心力，重力等于萬(wàn)有引力．要注意衛(wèi)星的軌道半徑與高度的關(guān)系，不能搞混．