Question

1．如圖所示，有一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動的水平圓盤，原長為L、勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定于軸O上，另一端連接質(zhì)量為m的小物塊A．當(dāng)圓盤靜止時(shí)，把彈簧拉長后將物塊放在圓盤上，是物塊能保持靜止的彈簧的最大長度為$\frac{5L}{4}$，已知最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，轉(zhuǎn)動過程中彈簧伸長始終在彈性限度內(nèi)，則：
（1）若開始時(shí)彈簧處于原長，當(dāng)圓盤的轉(zhuǎn)速為多大時(shí)，物塊A將開始滑動？
（2）若物塊與圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動的周期為T，物塊恰好不受摩擦力作用，此時(shí)彈簧的伸長量應(yīng)為多大？
（3）若彈簧的長度為$\frac{3L}{2}$時(shí)，物塊與圓盤能一起勻速轉(zhuǎn)動，試求轉(zhuǎn)動角速度的可能值．

Answer 1

分析 （1）物體A隨圓盤轉(zhuǎn)動的過程中，若圓盤轉(zhuǎn)速較小，由靜摩擦力提供向心力；當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速較大時(shí)，彈力與摩擦力的合力提供向心力．物體A剛開始滑動時(shí)，彈簧的彈力為零，靜摩擦力達(dá)到最大值，由靜摩擦力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解角速度ω₀．
（2）當(dāng)周期為T時(shí)，由彈力提供向心力，由牛頓第二定律和胡克定律求解彈簧的伸長量x．
（3）若彈簧的長度為$\frac{3L}{2}$時(shí)，物塊與圓盤能一起勻速轉(zhuǎn)動，結(jié)合摩擦力可能的方向分析解答即可．

解答 解：
（1）開始時(shí)物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，則：μmg=$\frac{kL}{4}$
圓盤開始轉(zhuǎn)動時(shí)，A所受靜摩擦力提供向心力，若滑塊不滑動，則有μmg≥mLω₀²，
當(dāng)μmg=mLω₀²時(shí)，即當(dāng)$\frac{1}{4π}•\sqrt{\frac{k}{m}}$時(shí)，物體A開始滑動．
（2）設(shè)彈簧伸長x，則有$kx=m（\frac{2π}{T}）^{2}（L+x）$
解得：$x=\frac{4{π}^{2}mL}{k{T}^{2}-4{π}^{2}m}$
（3）當(dāng)角速度最小時(shí)，摩擦力的方向與彈簧的拉力方向相反，則：
$\frac{kL}{2}-{f}_{m}=m{ω}_{1}^{2}•\frac{3L}{2}$
所以：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{k}{6m}}$
當(dāng)角速度最大時(shí)，摩擦力的方向與彈簧的彈力的方向相同，則：$\frac{kL}{2}+{f}_{m}=m{ω}_{1}^{2}•\frac{3L}{2}$
解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{k}{2m}}$．
所以角速度需要滿足：$\sqrt{\frac{k}{6m}}≤ω≤\sqrt{\frac{k}{2m}}$
答：（1）若開始時(shí)彈簧處于原長，當(dāng)圓盤的轉(zhuǎn)速為$\frac{1}{4π}•\sqrt{\frac{k}{m}}$時(shí)，物塊A將開始滑動；
（2）若物塊與圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動的周期為T，物塊恰好不受摩擦力作用，此時(shí)彈簧的伸長量應(yīng)為$\frac{4{π}^{2}mL}{k{T}^{2}-4{π}^{2}m}$；
（3）若彈簧的長度為$\frac{3L}{2}$時(shí)，物塊與圓盤能一起勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角速度的可能值為：$\sqrt{\frac{k}{6m}}≤ω≤\sqrt{\frac{k}{2m}}$．

點(diǎn)評 當(dāng)物體相對于接觸物體剛要滑動時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大，這是經(jīng)常用到的臨界條件．本題關(guān)鍵是分析物體的受力情況．