Question

4．如圖所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面沿水平方向以初速度v₀拋出一個小球，經(jīng)時間t落地，落地時速度與水平地面間的夾角為α，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度a；
（2）該星球的第一宇宙速度v；
（3）人造衛(wèi)星繞該星球表面做勻速圓周運動的最小周期T．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運動規(guī)律列出水平方向和豎直方向的速度等式，結(jié)合幾何關(guān)系求出重力加速度．
（2）根據(jù)重力等于萬有引力列式求解第一宇宙速度．
（3）該星球的近地衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供，該星球表面物體所受重力等于萬有引力，聯(lián)立方程即可求出最小周期T．

解答 解：（1）設(shè)該星球表現(xiàn)的重力加速度為g，根據(jù)平拋運動規(guī)律：
水平方向：v_x=v₀
豎直方向：v_y=at
速度偏轉(zhuǎn)角的正切值：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
得：a=$\frac{{v}_{0}tanα}{t}$；
（2）第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：
v₁=$\sqrt{aR}$=$\sqrt{\frac{{v}_{0}R•tanα}{t}}$
（3）近地衛(wèi)星的周期最小，故：
ma=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
解得：
T=2π$\sqrt{\frac{Rt}{{v}_{0}tanα}}$
答：（1）該星球表面的重力加速度a為$\frac{{v}_{0}tanα}{t}$；
（2）該星球的第一宇宙速度v為$\sqrt{\frac{{v}_{0}R•tanα}{t}}$；
（3）人造衛(wèi)星繞該星球表面做勻速圓周運動的最小周期T為2π$\sqrt{\frac{Rt}{{v}_{0}tanα}}$．

點評 處理平拋運動的思路就是分解．重力加速度a是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量．