Question

12．過(guò)山車的玩法很多，如圖A、B就是其中的兩種，將這兩種過(guò)山車簡(jiǎn)化成車在外軌道和內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)，假設(shè)這兩種過(guò)山車做的都是圓周運(yùn)動(dòng)，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，重力加速度為g，不考慮各種摩擦阻力，則：

（1）在圖A中，通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)人對(duì)座位剛好沒(méi)有壓力，在最高點(diǎn)速度是多少？
（2）在圖A中，在圓形軌道的最低點(diǎn)安裝一個(gè)測(cè)力傳感器，傳感器的示數(shù)在多大范圍時(shí)，過(guò)山車才能安全通過(guò)最高點(diǎn)，已知過(guò)山車和人的總質(zhì)量為M
（3）在圖B中，要求過(guò)山車在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是其重力的1倍到3倍，則最開始釋放的位置距離軌道最低點(diǎn)高度．

Answer 1

分析 （1）在圖A中，當(dāng)過(guò)山車到圓形軌道最高點(diǎn)人對(duì)座位沒(méi)有壓力，即只受重力作用，根據(jù)重力提供向心力可知求解；
（2）在圖A中，要能安全通過(guò)最高點(diǎn)，則在最高點(diǎn)：$0＜v＜\sqrt{gR}$，從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式，在最低點(diǎn)，根據(jù)向心力公式列式，聯(lián)立方程求解；
（3）圖B中，在最高點(diǎn)，根據(jù)向心力公式列式，從釋放位置到圓形軌道最高點(diǎn)過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式，聯(lián)立方向即可求解．

解答 解：（1）在圖A中，當(dāng)過(guò)山車到圓形軌道最高點(diǎn)人對(duì)座位沒(méi)有壓力，即只受重力作用，則有
mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
（2）在圖A中，要能安全通過(guò)最高點(diǎn)，則在最高點(diǎn)：$0＜v＜\sqrt{gR}$
從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過(guò)程：
$-Mg2R=\frac{1}{2}M{v}^{2}-\frac{1}{2}M{{v}_{1}}^{2}$
在最低點(diǎn)：
${F}_{N}-Mg=M\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：5Mg＜F_N≤6Mg
（3）圖B中，在最高點(diǎn)：
${F}_{N}′+mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$
解得：mg≤F_N′≤3mg
從釋放位置到圓形軌道最高點(diǎn)過(guò)程：
$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-0$
解得：4R≤h≤6R
答：（1）在圖A中，通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)人對(duì)座位剛好沒(méi)有壓力，在最高點(diǎn)速度是$\sqrt{gR}$；
（2）在圖A中，在圓形軌道的最低點(diǎn)安裝一個(gè)測(cè)力傳感器，傳感器的示數(shù)在5Mg＜F_N≤6Mg范圍時(shí)，過(guò)山車才能安全通過(guò)最高點(diǎn)；
（3）在圖B中，要求過(guò)山車在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是其重力的1倍到3倍，則最開始釋放的位置距離軌道最低點(diǎn)高度為4R≤h≤6R．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向心力公式以及動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，解題時(shí)要分析清楚向心力的來(lái)源，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況，難度適中．