Question

（2011?黃浦區(qū)一模）如圖（a）所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌相距為l，導(dǎo)軌平面與水平面成θ角，下端通過導(dǎo)線連接的電阻為R．質(zhì)量為m、阻值為r的金屬棒ab放在兩導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌垂直并始終保持良好接觸，整個裝置處于垂直導(dǎo)軌平面向上的磁場中．
（1）若金屬棒距導(dǎo)軌下端距離為d，磁場隨時間變化的規(guī)律如圖（b）所示，為保持金屬棒靜止，求加在金屬棒中央、沿斜面方向的外力隨時間變化的關(guān)系．
（2）若所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B′，通過額定功率P_m的小電動機(jī)對金屬棒施加沿斜面向上的牽引力，使其從靜止開始沿導(dǎo)軌做勻加速直線運(yùn)動，經(jīng)過時間t₁電動機(jī)達(dá)到額定功率，此后電動機(jī)功率保持不變．金屬棒運(yùn)動的v-t圖象如圖（c）所示．求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大�。�
（3）若金屬棒處在某磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒定的磁場中，運(yùn)動達(dá)到穩(wěn)定后的速度為v，在D位置（未標(biāo)出）處突然撤去拉力，經(jīng)過時間t₂棒到達(dá)最高點，然后沿軌道返回，在達(dá)到D位置前已經(jīng)做勻速運(yùn)動，其速度大小為

1

5

v，求棒在撤去拉力后所能上升的最大高度．

Answer 1

分析：（1）為保持金屬棒靜止，金屬棒受力必須平衡，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式推導(dǎo)出金屬棒所受的安培力，根據(jù)平衡條件列式，可求出外力隨時間變化的關(guān)系．
（2）由圖c看出，金屬棒運(yùn)動的最大速度為v₀，此時金屬棒做勻速運(yùn)動，合力為零．由 P_m=F₂?v_m 求出拉力，根據(jù)平衡條件列式，即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大�。�
（3）金屬棒先上滑后下滑，對于上滑的過程，根據(jù)牛頓第二定律得到加速度的表達(dá)式，采用微元法，得到速度變化量△v與時間△t的表達(dá)式，再對△v求和，得到最大距離s與v的關(guān)系式，再對下滑過程研究，勻速運(yùn)動時合力為零，列式得出v的表達(dá)式，聯(lián)立可求出最大高度．

解答：解：（1）金屬棒沿斜面方向受力平衡，外力應(yīng)沿斜面向上，設(shè)其大小為F₁，則  
   F₁-mgsinθ-B₁Il=0
由圖（b）可知，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小與t關(guān)系為B₁=2t
回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢  E=

△?

△t

=

△B?S

△t

，S=l?d，
此時回路中的感應(yīng)電流  I=

E

R+r

得 F1=mgsinθ+B1

2?l?d

R+r

l=mgsinθ+4

l2d

R+r

t
（2）由圖（c）可知，金屬棒運(yùn)動的最大速度為v₀，此時金屬棒所受合力為零．
設(shè)金屬棒此時所受拉力大小為F₂，流過棒中的電流為I_m，則  F2-mgsinθ-B′Iml=0
 E_m=B?lv₀
 P_m=F₂?v_m   
得 

Pm

v0

-mgsinθ-B′

B′lv0

R+r

l=0
解得  B′=

1

l

( Pm v 2 0 - mgsinθ v0 )(R+r)

（3）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，棒沿斜面向上運(yùn)動時，mgsinθ+BIl=ma得
  a=gsinθ+

B2l2vt

m(R+r)

取極短時間△t，速度微小變化為△v，△v=a△t，△s=v△t
得 △v=gsinθ△t+

B2l2v△t

m(R+r)

在上升的全過程中，∑△v=gsinθ∑△t+

B2l2∑△s

m(R+r)

即0-v=-[t2gsinθ+

B2l2s

m(R+r)

]
又下滑到勻速時有  mgsinθ-

B2l2v

5(R+r)

=0
由上兩式得s=

v2

5gsinθ

-

vt2

5

上升的高度H=s?sinθ=

v2-vgt2sinθ

5g

答：
（1）加在金屬棒中央、沿斜面方向的外力隨時間變化的關(guān)系是F₁=mgsinθ+4

l2d

R+r

t；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大小為

1

l

( Pm v 2 0 - mgsinθ v0 )(R+r)

；
（3）棒在撤去拉力后所能上升的最大高度是

v2-vgt2sinθ

5g

．

點評：本題是復(fù)雜的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，通過分析過程，尋找每個過程遵守的物理規(guī)律是關(guān)鍵．要會運(yùn)用積分法求解非勻變速運(yùn)動的速度變化量，其切入口是牛頓第二定律和加速度的定義式．