Question

11．如圖：平面直角坐標系xOy，在-10cm≤y≤0區(qū)域內(nèi)有沿y軸正向的勻強電場，場強E=1×10⁵N/C；在0≤y≤10cm區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度B=$\frac{\sqrt{2}}{5}$T．在y軸上Q（0，-10cm）點有粒子源，能同時沿0°～180°各個反向均勻地向電場中發(fā)射比荷$\frac{q}{m}$=5×10⁷c/kg的帶正電粒子，它們的初速度大小均為v₀=1×10⁶m/s．不計粒子所受重力．試求；
（1）粒子第一次到達x軸上的范圍；
（2）第一次到達x軸的粒子中哪個范圍內(nèi)的粒子能從磁場上邊界射出；
（3）能從磁場上邊界射出的粒子中，在磁場中運動時間的最小值．（取π≈3，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，當粒子沿x軸正負方向射出時，到達距離最遠．先求出粒子在電場中的運動時間，根據(jù)粒子在水平方向做勻速運動，求出最遠距離；
（2）通過作圖求出粒子在磁場中做運動時恰好沒射出的臨界值，求出粒子能從磁場上邊界射出的范圍；
（3）由于粒子進入磁場時的末速度相同，所以在磁場中運動的弧長越短，運動的時間越短．又根據(jù)幾何知識可知同圓弦長越短弧長越短，找到最短的弦，推導出圓心角，求出運動時間的最小值．

解答 解：（1）帶點粒子做類平拋運動
x=v₀t
$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
在電場中qE=ma
解得x=0.2m=20cm
帶電粒子第一次到達x軸上的范圍：-20cm≤x≤20cm．
（2）帶電粒子進入磁場做勻速圓周運動
帶電粒子在電場中加速，設進入磁場時速度為v，由動能定理
$Eqy=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}$²
$v=\sqrt{2}×1{0}^{6}m/s$
帶電粒子進入磁場做勻速圓周運動，半徑為r
$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
r=0.1m
由此由幾何關系可知，沿y軸向上運動的帶電粒子運動恰好與磁場上邊界相切，沒有離開磁場，經(jīng)過x軸負方向的帶電粒子均不能從磁場上邊界射出，
只有在x軸上0＜x≤20cm內(nèi)的粒子能從磁場上邊界射出
（3）粒子在磁場中圓周運動的弦最短時的時間最短，即為0.1m，此時速度方向與x軸正方向夾角為60°
周期$T=\frac{2πr}{v}$
最短時間t_min=T/6
${t}_{min}=7×1{0}^{-8}s$
答：（1）粒子第一次到達x軸上的范圍為-20cm≤x≤20cm．；
（2）第一次到達x軸的粒子中在x軸上0＜x≤20cm內(nèi)的粒子能從磁場上邊界射出；
（3）能從磁場上邊界射出的粒子中，在磁場中運動時間的最小值為7×10-⁸s．

點評 此題考查了粒子在復合場中的運動，首先考生需要熟練掌握平拋運動和圓周運動的基本公式，畫出粒子的運動軌跡，找到臨界條件，難度較大．