Question

1．如圖甲所示，與x軸成45°角的虛線OM和EF以及彈性擋板GH把坐標(biāo)系的第一象限和第四象限分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)區(qū)域，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域內(nèi)均有理想邊界的垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，區(qū)域Ⅳ為真空，若不斷有初速度為零且$\frac{q}{m}$=10³C/kg的帶正電粒子經(jīng)過圖乙所示電壓加速后，由P點(diǎn)垂直x軸方向進(jìn)入 I區(qū)域，已知B₁=B₃=1T，B₂=0.5T，OP=0.4m，EF和GH間的水平距離為d=0.16m．不計(jì)帶電粒子的重力和粒子之間的相互作用，求：

（1）帶電粒子在 I區(qū)域里運(yùn)動(dòng)的最大軌道半徑；
（2）帶電粒子從P點(diǎn)出發(fā)到第一次離開Ⅱ區(qū)域所用的最短時(shí)間；
（3）若帶電粒子與彈性板GH相碰后速度大小和電量不變，碰撞前后速度方向與彈性板GH夾角相等，則第一次進(jìn)入Ⅲ區(qū)域的帶電粒子從EF邊界離開磁場時(shí)出射點(diǎn)到進(jìn)入點(diǎn)的距離l的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)帶電粒子由P點(diǎn)進(jìn)入Ⅰ區(qū)域時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理結(jié)合電壓范圍即可求解速度范圍，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律列式求解最大半徑；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子從P點(diǎn)出發(fā)到第一次離開Ⅱ區(qū)域所用的時(shí)間為帶電粒子在Ⅰ區(qū)域和Ⅱ區(qū)域的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和，根據(jù)圓心角與周期的關(guān)系分別求出在Ⅰ區(qū)域和Ⅱ區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而求解；
（3）由（2）可知，所有粒子將從EF邊界的同一點(diǎn)A進(jìn)入Ⅲ區(qū)域，求出粒子在Ⅲ區(qū)域運(yùn)動(dòng)的軌道半徑范圍，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與GH相切時(shí)，粒子向下運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）設(shè)帶電粒子由P點(diǎn)進(jìn)入Ⅰ區(qū)域時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理得：
$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
由乙圖知5V≤U≤20V…②
聯(lián)立①②并帶入數(shù)據(jù)解得：100m/s≤v≤200m/s…③
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得：
Bqv=$m\frac{{v}^{2}}{R}$…④
由④式知，當(dāng)v=200m/s時(shí)粒子在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)半徑最大，設(shè)為R_m，帶入數(shù)據(jù)解得：
R_m=0.2m…⑤，
（2）依題意有B₁=2B₂，由④式可知，帶電粒子在Ⅱ區(qū)域的軌道半徑是Ⅰ區(qū)域軌道半徑的2倍，由幾何關(guān)系知，進(jìn)入Ⅱ區(qū)域的粒子將由P點(diǎn)正上方同一Q點(diǎn)沿水平方向離開Ⅱ區(qū)域經(jīng)Ⅳ區(qū)域進(jìn)入Ⅲ區(qū)域，如答圖甲所示：
由圖可知，當(dāng)v=200m/s時(shí)，由⑤式可知，帶電粒子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)O點(diǎn)進(jìn)入Ⅱ區(qū)域，到第一次粒子Ⅱ區(qū)域所用的時(shí)間最短為：t=t₁+t₂…⑥，
其中t₁為粒子在Ⅰ區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{{T}_{1}}{2}$…⑦，
t₂為粒子在Ⅱ區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{{T}_{2}}{4}$⑧，
T₁、T₂分別為帶電粒子在Ⅰ區(qū)域和Ⅱ區(qū)域的運(yùn)動(dòng)周期，而粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πR}{v}$…⑨，
由④⑨式得：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，${T}_{2}=\frac{2πm}{q{B}_{2}}$…（10），
聯(lián)立⑥⑦⑧（10）式并帶入數(shù)據(jù)解得：t=6.18×10^-3s…（11）
（3）由（2）可知，所有粒子將從EF邊界的同一點(diǎn)A進(jìn)入Ⅲ區(qū)域，如答圖乙所示，由③④式可知，
粒子在Ⅲ區(qū)域運(yùn)動(dòng)的軌道半徑范圍為：0.1m≤R≤0.2m…（12），
當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與GH相切時(shí)，粒子向下運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)，此時(shí)半徑R=0.16m，粒子到達(dá)最遠(yuǎn)，有：AC=2R=0.32m…（13），
當(dāng)粒子軌道半徑最小時(shí)，有：AD=2R_n=0.20m…（14），
當(dāng)粒子軌道半徑最大時(shí)，與彈性板GJ相碰于N點(diǎn)，由幾何關(guān)系得：
AK=${R}_{m}-\sqrt{{{R}_{m}}^{2}-cdihk3j^{2}}=0.08m$…（15），
根據(jù)對(duì)稱性可知，粒子反彈后交EF于S點(diǎn)，所以有：AS=2AK=0.16m＜AD=0.2m…（16），
因此，第一次進(jìn)入Ⅲ區(qū)域的帶電粒子從EF邊界離開磁場時(shí)出射點(diǎn)到進(jìn)入點(diǎn)的距離范圍為：0.16m≤l≤0.32m．
答：（1）帶電粒子在 I區(qū)域里運(yùn)動(dòng)的最大軌道半徑為0.2m；
（2）帶電粒子從P點(diǎn)出發(fā)到第一次離開Ⅱ區(qū)域所用的最短時(shí)間為6.18×10^-3s；
（3）第一次進(jìn)入Ⅲ區(qū)域的帶電粒子從EF邊界離開磁場時(shí)出射點(diǎn)到進(jìn)入點(diǎn)的距離l的取值范圍為0.16m≤l≤0.32m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理以及帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)基本公式得直接應(yīng)用，一要仔細(xì)分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，二要根據(jù)幾何知識(shí)畫出軌跡，這兩點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵，解題時(shí)還要注意結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度較大，屬于難題．