Question

【題目】(1)科學家發(fā)現，除了類似太陽系的恒星-行星系統(tǒng)，還存在許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙有了較深刻的認識。雙星系統(tǒng)是由兩個星體構成，其中每個星體的線度（直徑）都遠小于兩星體間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當做孤立系統(tǒng)處理。已知某雙星系統(tǒng)中每個星體的質量都是M0，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做勻速圓周運動，引力常量為G。 求：

①該雙星系統(tǒng)中星體的加速度大小a；

②該雙星系統(tǒng)的運動周期T。

(2)微觀世界與宏觀世界往往存在奇妙的相似性。對于氫原子模型，因為原子核的質量遠大于電子質量，可以忽略原子核的運動，形成類似天文學中的恒星-行星系統(tǒng)，記為模型Ⅰ。另一種模型認為氫原子的核外電子并非繞核旋轉，而是類似天文學中的雙星系統(tǒng)，核外電子和原子核依靠庫侖力作用使它們同時繞彼此連線上某一點做勻速圓周運動，記為模型Ⅱ。已知核外電子的質量為m，氫原子核的質量為M，二者相距為r，靜電力常量為k，電子和氫原子核的電荷量大小均為e。

①模型Ⅰ、Ⅱ中系統(tǒng)的總動能分別用EkⅠ、 EkⅡ表示，請推理分析，比較EkⅠ、 EkⅡ的大小關系；

②模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運動的周期分別用TⅠ、TⅡ表示，通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ的方案，請從周期的角度分析這樣簡化處理的合理性。

Answer 1

【答案】(1) ① ② (2) ① ②,因為M>>m，可得TⅠ≈TⅡ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便。

【解析】（1）①根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：

解得 ②

②由運動學公式可知，

解得

（2）①模型Ⅰ中，設電子和原子核的速度分別為v對于電子繞核的運動，根據庫侖定律和牛頓第二定律有

解得：

模型Ⅱ中，設電子和原子核的速度分別為v1、v2，電子的運動半徑為r1，原子核的運動半徑為r2。根據庫侖定律和牛頓第二定律

對電子有： ，解得

對于原子核有： ，解得

系統(tǒng)的總動能：EkⅡ=Ek1+ Ek2=

即在這兩種模型中，系統(tǒng)的總動能相等。

②模型Ⅰ中，根據庫侖定律和牛頓第二定律有

，解得

模型Ⅱ中，電子和原子核的周期相同，均為TⅡ

根據庫侖定律和牛頓第二定律

對電子有 ， 解得

對原子核有 ， 解得

因r1+r2=r，將以上兩式代入，可解得

所以有

因為M>>m，可得TⅠ≈TⅡ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便。