Question

9．如圖，半徑為R（O點(diǎn)為圓心，OC=R）光滑$\frac{1}{4}$圓軌道豎直放置，最高點(diǎn)C的切線水平，一個(gè)質(zhì)量均為m的小球A沿圓軌道外側(cè)運(yùn)動(dòng)，通過最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力為0.75mg，另一個(gè)質(zhì)量為2m 的B球沿圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力為16mg，兩球可視為質(zhì)點(diǎn)，試求
（1）A球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度；
（2）B球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度；
（3）A和B兩球離開最高點(diǎn)C做平拋運(yùn)動(dòng)，求兩球落點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）分析A球受力情況，根據(jù)向心力公式可求得A球在最高點(diǎn)的速度；
（2）分析B球的受力情況，根據(jù)向心力公式可求得B球在最高點(diǎn)時(shí)的速度；
（3）兩球均做平拋運(yùn)動(dòng)，下落高度相同，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得兩球的落點(diǎn)，則可求得兩球間的距離．

解答 解：（1）對(duì)A球在最高點(diǎn)由向心力公式可知：
mg-F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{（F-mg）R}{m}}$=$\sqrt{\frac{0.25mg}{m}}$=0.5$\sqrt{gR}$；
（2）對(duì)B球由向心力公式可得：
16mg+2mg=2m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：v₂=3$\sqrt{gR}$；
（3）小球從C點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：
豎直方向：R=$\frac{1}{2}$gt²；
解得：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
水平方向：x=vt
故A球運(yùn)動(dòng)的位移x_A=vt=0.5×$\sqrt{gR}$×$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=0.5$\sqrt{2}$R；
B球的位移x_B=v₂t=3×$\sqrt{gR}$×$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=3$\sqrt{2}$R；
故兩球位移的差值為：x_B-x_A=3$\sqrt{2}$R-0.5$\sqrt{2}$R=2.5$\sqrt{2}$R
答：（1）A球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度0.5$\sqrt{gR}$；
（2）B球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度3$\sqrt{gR}$；
（3）兩球落點(diǎn)間的距離為2.5$\sqrt{2}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，要注意小球在上面時(shí)，只能受向上的支持力；而B球在下方，只能受向下的支持力．