Question

8．如圖所示，一條上端固定的繩長l₁=6.3m，質(zhì)量m=50kg的特技演員從繩上端先沿繩從靜止開始無摩擦下滑一段距離后，突然握緊繩子，與繩子之間產(chǎn)生f=1400N的摩擦阻力，滑到繩子末端時(shí)速度剛好為零．求：
（1）特技演員下滑所用的時(shí)間t．
（2）在水平面上有一輛長l₂=3m平板車，其上表面與繩末端等高，車右端離繩末端s=4m，平板車能一直以v₀=2m/s的恒定速度向右運(yùn)動(dòng)，為了要讓該演員滑下后能留在車上，則車啟動(dòng)（汽車啟動(dòng)立即勻速，不計(jì)啟動(dòng)時(shí)間）后演員應(yīng)在多長時(shí)間范圍內(nèi)開始下滑？（把人看作質(zhì)點(diǎn)，人與車之間動(dòng)摩擦系數(shù)μ=0.2，g取10m/s²）
（3）若演員在汽車啟動(dòng)后1.8s時(shí)開始下滑，為了維持汽車能夠勻速運(yùn)行汽車需要多消耗多少能量？

Answer 1

分析 （1）人先是自由落體運(yùn)動(dòng)，然后是勻加速運(yùn)動(dòng)，總的位移就是繩的長度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式可以求出下滑所用的時(shí)間；
（2）車頭剛好到繩末端時(shí)人落在車上，這是時(shí)間最短的時(shí)候，當(dāng)人恰好不從車上掉下去時(shí)，這時(shí)的時(shí)間最長，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式可以求得人所需要的時(shí)間的范圍．
（3）根據(jù)能量守恒定律求出維持汽車勻速行駛需要多消耗的能量．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得，勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為：
a=$\frac{f-mg}{m}=\frac{1400-500}{50}m/{s}^{2}=18m/{s}^{2}$，
設(shè)勻加速運(yùn)動(dòng)的末速度為v，則有：$\frac{{v}^{2}}{2g}+\frac{{v}^{2}}{2a}=6.3m$，
代入數(shù)據(jù)解得：v=9m/s，
則特技演員下滑的總時(shí)間t=$\frac{v}{g}+\frac{v}{a}=\frac{9}{10}+\frac{9}{18}s=1.4s$．
（2）設(shè)車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁時(shí)，車頭剛好到繩末端時(shí)人落車上．
此時(shí)間隔時(shí)間最短，由s=v₀t₁，
代入數(shù)據(jù)解得：t₁=2s，
所以人開始下滑的時(shí)間為△t₁=t₁-t=0.6s，
設(shè)車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂時(shí)，人落車上某點(diǎn)后剛好滑到車尾．此時(shí)的間隔時(shí)間最長，人和車的相對位移為△s，得：
$△s={v}_{0}\frac{{v}_{0}}{μg}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$=$\frac{4}{2×2}m=1m$
又因?yàn)椋骸鱯=l₂+s-v₀t₂，
解得：t₂=3s，
所以人開始下滑的時(shí)間為：△t₂=t₂-t=1.6s，
則時(shí)間的范圍為：0.6s≤△t≤1.6s．
（3）汽車多消耗的能量一部分轉(zhuǎn)化為物體的動(dòng)能，還有一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，
相對滑動(dòng)的位移為：$△x={v}_{0}\frac{{v}_{0}}{μg}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}=\frac{4}{2×2}m=1m$，
因?yàn)檠輪T在汽車啟動(dòng)后1.8s時(shí)開始下滑，則v₀（1.8+1.4）+△x=7.4m＞s+l₂，
可知演員在汽車左端滑行，相對滑動(dòng)的位移為：△x′=s+l₂-v₀（1.8+1.4）m=0.6m，
設(shè)經(jīng)過t′時(shí)間滑離小車，有：${v}_{0}t′-\frac{1}{2}μgt{′}^{2}=0.6m$，
解得：t′=1-0.2$\sqrt{10}$s，
則有：v$′=at′=（2-0.4\sqrt{10}）m/s$，
根據(jù)能量守恒得：$△E=f△x′+\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：$△E=200+40\sqrt{10}$≈73.6J．
答：（1）特技演員下滑所用的時(shí)間為1.4s．
（2）車啟動(dòng)（汽車啟動(dòng)立即勻速，不計(jì)啟動(dòng)時(shí)間）后演員開始下滑的時(shí)間范圍為0.6s≤△t≤1.6s．
（3）為了維持汽車能夠勻速運(yùn)行汽車需要多消耗73.6J的能量．

點(diǎn)評 本題涉及到多個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程，對每個(gè)過程都要仔細(xì)的分析物體運(yùn)動(dòng)的情況，這道題可以很好的考查學(xué)生的分析問題的能力，有一定的難度．