Question

4．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一直角坐標(biāo)系，在y軸的右側(cè)存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．在y軸的左側(cè)同時(shí)存在一個(gè)垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、水平寬度為a的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ．有一不計(jì)重力、帶正電、比荷為$\frac{q}{m}$的粒子由+x軸上某一位置無初速度釋放．
（1）若其恰好經(jīng)過磁場(chǎng)Ⅰ左邊界上P點(diǎn)（-a，$\frac{a}{2}$），求粒子射出磁場(chǎng)Ⅰ的速度v₁的大��；
（2）若勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ左側(cè)同時(shí)存在一個(gè)垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B的無限大勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，要使粒子第二次沿+x方向運(yùn)動(dòng)時(shí)恰經(jīng)過y軸上的M點(diǎn)（0，-4a），試求其在+x軸上無初速度釋放時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡，依據(jù)幾何關(guān)系，建立已知長(zhǎng)度與半徑的關(guān)系，再結(jié)合動(dòng)能定理，即可求解．

解答 解：（1）如圖所示，由幾何關(guān)系可知，${r}_{1}^{2}={a}^{2}+（{r}_{1}-\frac{a}{2}）^{2}$；

可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡半徑r₁=$\frac{5a}{4}$；
由牛頓第二定律，可得：$Bq{v}_{1}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
因此射出磁場(chǎng)的速度v₁=$\frac{5Bqa}{4m}$；
（2）要使粒子第二次沿+x方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，恰好經(jīng)過y軸上的M點(diǎn)（0，-4a），軌跡如圖所示：

根據(jù)圖可知，在△O₁O₂D中，O₁O₂=2r₃，O₂D=2a，O₁D=r₃+a；
由幾何關(guān)系，可知，$（2{r}_{3}）^{2}=（2a）^{2}+（{r}_{3}+a）^{2}$；
解得：${r}_{3}=\frac{5}{3}a$；
又Bqv₃=$\frac{m{v}_{3}^{2}}{{r}_{3}}$；
粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有：qEx=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-0$；
在+x軸上無初速度釋放時(shí)的位置坐標(biāo)x=$\frac{25q{B}^{2}{a}^{2}}{18mE}$；
答：（1）粒子射出磁場(chǎng)Ⅰ的速度v₁的大小$\frac{5Bqa}{4m}$；
（2）其在+x軸上無初速度釋放時(shí)的位置坐標(biāo)$\frac{25q{B}^{2}{a}^{2}}{18mE}$．

點(diǎn)評(píng) 考查粒子在電場(chǎng)中加速與磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，掌握牛頓第二定律與動(dòng)能定理，理解運(yùn)動(dòng)學(xué)與向心力公式，注意幾何關(guān)系的正確建立．