Question

【題目】如圖，比荷分別為k和2k的甲、乙兩帶正電粒子不計(jì)重力，由靜止?fàn)顟B(tài)經(jīng)相同電壓U加速后從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸的正方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ，經(jīng)兩磁場(chǎng)后分別打在屏上、兩點(diǎn)未標(biāo)出。已知Ⅰ、Ⅱ兩磁場(chǎng)是相鄰的矩形區(qū)域，區(qū)域的寬均為a，區(qū)域的邊界平行于y軸，兩磁場(chǎng)的方向均與Oxy坐標(biāo)平面垂直但方向相反，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為式中U為加速電壓。屏垂直于x軸且到y軸的距離為6a。

求甲、乙兩粒子在磁場(chǎng)Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的軌跡的半徑之比：

求與兩點(diǎn)間的距離

若使甲、乙兩粒子最終能打到屏上的同一點(diǎn)見(jiàn)圖且方向均沿x軸的正方向，可在磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ的基礎(chǔ)上再加上若干磁場(chǎng)區(qū)。

請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出可能的磁場(chǎng)區(qū)域所在的位置并在圖中標(biāo)明磁場(chǎng)的方向

在的情況下，試求甲、乙兩粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的時(shí)間之比：。

Answer 1

【答案】（1）； （2） ；

（3）①。

②。

【解析】

由動(dòng)能定理求得粒子速度，再根據(jù)洛倫茲力做向心力求得軌道半徑；根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由幾何關(guān)系求得偏移，從而得到兩點(diǎn)間的距離；根據(jù)速度方向變化得到磁場(chǎng)類型，在根據(jù)偏移量相等得到磁場(chǎng)寬度；根據(jù)幾何關(guān)系得到粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的中心角，即可根據(jù)周期求得在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；再根據(jù)勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到在非磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得到兩粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比。

設(shè)粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，加速后的速度為v，那么，由動(dòng)能定理可得：，所以，；

那么，粒子在磁場(chǎng)Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的速度為v，粒子只受洛倫茲力作用，故粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，設(shè)軌道半徑為R，則有：；

所以，軌道半徑；故，

那么，甲、乙兩粒子在磁場(chǎng)Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的軌跡的半徑之比；

由根據(jù)粒子的軌道半徑，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)；

由幾何關(guān)系可得：粒子在區(qū)域Ⅰ做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在區(qū)域Ⅱ做順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且轉(zhuǎn)動(dòng)角度相同，故粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向沿方向；

故粒子打在屏上的縱坐標(biāo)；

故，，所以，；

由可得：增加兩個(gè)方向相反的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)寬度相同且都小于軌道半徑時(shí)，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后的方向沿方向；

又有兩粒子軌道半徑不同，那么，每次偏轉(zhuǎn)位移不等，故要使粒子打在同一位置，那么，后添加的磁場(chǎng)正好把前面磁場(chǎng)產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)位移抵消；

根據(jù)幾何關(guān)系可得：要使甲、乙兩粒子最終能打到屏上的同一點(diǎn)且方向均沿x軸的正方向，只能在x軸區(qū)間任意位置加上對(duì)稱磁場(chǎng)，且沿方向，先向外后向里；

故可能的磁場(chǎng)區(qū)域如圖所示：

甲粒子在每個(gè)磁場(chǎng)區(qū)間轉(zhuǎn)過(guò)的中心角，故在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

甲粒子在非磁場(chǎng)區(qū)間運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

乙粒子在每個(gè)磁場(chǎng)區(qū)間轉(zhuǎn)過(guò)的中心角，故在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

乙粒子在非磁場(chǎng)區(qū)間運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

故甲、乙兩粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的時(shí)間之比；