Question

18．CDE是固定在絕緣水平面上的光滑金屬導軌，CD=DE=L，∠CDE=60°，如圖甲所示．CD和DE單位長度的電阻均為r₀，導軌處于磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場中．一根金屬桿MN（長度大于L，材料與粗細與CDE相同）在向右的水平拉力作用下以速度v₀在CDE上勻速滑行．MN在滑行的過程中始終與CDE接觸良好，并且與C、E所確定的直線平行，以MN在D點時開始計時．

（1）求MN滑行到C、E兩點時，C、D兩點間的電勢差U_CD；
（2）推導MN在CDE上滑行的過程中，回路中的感應電動勢E與時間t的關系表達式；
（3）在運動學中我們學過：通過物體運動速度和時間的關系圖線（v-t圖）可以求出物體運動的位移x，如圖乙中物體在0～t₀時間內的位移在數(shù)值上等于梯形Ov₀Pt₀的面積．通過類比我們可以知道：如果畫出力與位移的關系圖線（F-x圖），也可以通過圖線求出力對物體所做的功．請你推導MN在CDE上滑動過程中，MN所受安培力F與MN的位移x的關系表達式，并用F與x的關系圖線求出MN在CDE上滑行的整個過程中，MN和CDE構成的回路所產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 MN切割磁感線，運用法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，應用閉合電路歐姆定律求出C、D兩點電勢差的大小；
設MN運動時間為t，滑出位置圖象，根據(jù)幾何關系求出回路的長度和電阻．再求出回路中的感應電動勢E與時間t的關系表達式；
從安培力的表達式出發(fā)求出安培力與位移的關系，通過關系表達式畫出F-x圖，從而求出功，根據(jù)能量的轉化和守恒定律求出回路所產生的焦耳熱．

解答 解：（1）MN滑行到C、E兩點時，在回路中的長度等于L，此時回路中的感應電動勢E=BLv₀
由于MN的電阻忽略不計，CD和DE的電阻相等，
所以C、D兩點電勢差的大小為：U=$\frac{1}{2}$E=$\frac{1}{2}$BLv₀
（2）設經過時間t運動到如圖所示位置，

此時桿在回路中的長度l=2v₀ttan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀t    
電動勢E=Blv₀=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$Bv₀²t  
（3）在第（2）題圖示位置時，回路中的電阻R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$r₀v₀t    
回路中的電流I=$\frac{B{v}_{0}}{2{r}_{0}}$，即回路中的電流為一常量．
此時安培力的大小F_安=BIL=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}^{2}}{3{r}_{0}}$t
由于MN在CDE上滑動時的位移x=v₀t
所以F_安=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}}{3{r}_{0}}$x
所以安培力的大小隨位移變化的圖線（F_安-x圖）如圖所示，

所以MN在CDE上的整個滑行過程中，安培力所做的功為：W_安=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8{r}_{0}}$
根據(jù)能量的轉化和守恒定律，回路中產生的焦耳熱Q等于安培力所做的功，即：Q=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8{r}_{0}}$
答：（1）MN滑行到C、E兩點時，C、D兩點電勢差的大小為$\frac{1}{2}$BLv₀ ；
（2）回路中的感應電動勢E與時間t的關系表達式為E=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$Bv₀²t；  
（3）MN所受安培力F_安與MN的位移x的關系表達式F_安=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}}{3{r}_{0}}$x，MN和CDE構成的回路所產生的焦耳熱為$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8{r}_{0}}$．

點評 關于回路中電阻要看清題目，有的導軌計電阻，有的不計．根據(jù)物理規(guī)律求出物理量之間的關系，從而畫出圖象．