Question

14．騰訊太空2016年4月5日訊，據(jù)英國(guó)每日郵報(bào)報(bào)道，天文學(xué)家目前最新發(fā)現(xiàn)一顆奇特的三星系統(tǒng)熱木星，三星系統(tǒng)有兩種方式構(gòu)成，一種方式是質(zhì)量相等的三顆星構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，每顆星圍繞等邊三角形的中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T₁；另一種方式質(zhì)量相等的三顆星等間距分布在一條直線上，若相鄰兩顆星的距離為a，而中間的星剛好不動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期為T₂，則T₁：T₂為（　�。�

• A． 5：2
• B． 5：3
• C． $\sqrt{5}$：2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$：$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先寫(xiě)出任意兩個(gè)星星之間的萬(wàn)有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．然后用R表達(dá)出它們的軌道半徑，最后寫(xiě)出用周期和線速度表達(dá)的向心力的公式，整理即可的出結(jié)果．

解答 解：對(duì)第一種的情況，由幾何關(guān)系知：它們的軌道半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．
任意兩個(gè)星星之間的萬(wàn)有引力F=$\frac{Gmm}{{a}^{2}}$，
每一顆星星受到的合力，F(xiàn)₁=$\sqrt{3}F$
合力提供它們的向心力：$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}_{1}^{2}}$
解得T₁=$2πa\sqrt{\frac{a}{3Gm}}$；
對(duì)第二種情況，相鄰的兩顆星星之間的萬(wàn)有引力：F=$\frac{Gmm}{{a}^{2}}$
較遠(yuǎn)的兩顆星之間的萬(wàn)有引力：$F′=\frac{Gmm}{（2a）^{2}}$
兩側(cè)的星星受到的合力：${F}_{2}=F+F′=\frac{5Gmm}{{4a}^{2}}$
合力提供它們的向心力：$\frac{5Gmm}{4{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}a}{{T}_{2}^{2}}$
解得T₂=$4πa\sqrt{\frac{a}{5Gm}}$
所以：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$故ABD錯(cuò)誤，C正確
故選：C

點(diǎn)評(píng) 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．