Question

某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，用來研究碰撞問題，其模型如右圖所示。用完全相同的輕繩將N個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿，球間有微小間隔，從左到右，球的編號(hào)依次為1、2、3…….N，球的質(zhì)量依次遞減，每個(gè)球的質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k(k＜1)。將1號(hào)球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號(hào)球碰撞，2號(hào)球再與3號(hào)球碰撞……所有碰撞皆為無機(jī)械能損失的正碰。并假設(shè)所有的球作為主動(dòng)球完成一次碰撞后均由于某種原因與繩脫離并作自由落體運(yùn)動(dòng)。(不計(jì)空氣阻力，忽略繩的伸長(zhǎng)，g取10 m/s²)

（1）設(shè)與n+1號(hào)球碰撞前，n號(hào)球的速度為v_n，求n+1號(hào)球被碰撞后瞬間的速度。

（2）若N=5，在1號(hào)球向左拉高h的情況下，要使5號(hào)球碰撞后升高16h（16h小于繩長(zhǎng)），問k值為多少？

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Answer 1

解析：（1）設(shè)n號(hào)球質(zhì)量為m_n，n+1號(hào)球質(zhì)量為m_n+1，碰撞后的速度分別為v _n′、v_n+1′，取水平向右為正方向，據(jù)題意有n號(hào)球與n+1號(hào)球碰撞前的速度分別為v_n、0，且

m_n+1=km_n     

根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有

m_nv_n=m_nv_n′n+km_nv _n+1′      ①

根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有

m_nv_n²=m_nv _n′²+km_nv _n+1′²         ②  

由①②得

v _n+1′=(v _n+1′=0舍去)   

（2）設(shè)1號(hào)球擺至最低點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律有

m₁gh=m₁v₁²              ④ 

解得               v₁=       ⑤ 

同理可求5號(hào)球碰后瞬間的速度

v₅=  ⑥

設(shè)n+1號(hào)球與n+2號(hào)球碰前的速度為v_n+1

據(jù)題意有v_n+1=v _n+1′[

v_n+1=ⁿv₁             ⑦      ks5u

N=n+1=5時(shí)，

v₅=（）⁴v₁      ⑧    

由⑤⑥⑧三式得         k=-1≈0.414(k=--1舍去)          ⑨