Question

18．如圖甲所示，在邊界PQ左側(cè)存在斜方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，方向與豎直向上方向成37°角，在PQ的右側(cè)有豎直向上的電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小隨時(shí)間變化，如圖乙所示．PQ邊界右側(cè)有一豎直熒光屏MN，PQ與MN間的距離為L(zhǎng)=0.4m，O為熒光屏的中心，且A、O兩點(diǎn)在同一水平線上，現(xiàn)有一帶正電微粒質(zhì)量為4×10^-4kg，電量為1×10^-5C，從左側(cè)電場(chǎng)中距PQ邊界$\frac{4}{15}$m的A處無初速釋放后，沿水平直線通過PQ邊界進(jìn)入右側(cè)場(chǎng)區(qū)，從微粒穿過PQ開始計(jì)時(shí)，微粒恰好水平擊中屏MN．（sin37°=0.6，取g=10m/s²）．求：

（1）MN左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₁的大小
（2）交變電場(chǎng)的周期T和可能取值
（3）在滿足第（2）問的條件下微粒擊中屏MN可能的位置．

Answer 1

分析 （1）粒子沿水平方向運(yùn)動(dòng)，在豎直方向合力為零，故根據(jù)豎直方向合力零求的電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）微粒恰好水平擊中屏MN，故粒子在豎直方向先減速和減速，豎直方向減速到零剛好達(dá)到MN，即可求得周期；
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知粒子在豎直方向做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，故根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求的到達(dá)的位置；

解答 解：（1）粒子沿水平直線通過PQ邊界，故粒子在豎直方向受到的合力為零，故mg=qE₁cos37°
${E}_{1}=\frac{mg}{qcos37°}\frac{4×1{0}^{-4}×10}{1×1{0}^{-5}×0.8}=500V/m$
（2）粒子在電場(chǎng)E1中獲得的加速度為：a=$\frac{mgtan37°}{m}=gtan37°=7.5m/{s}^{2}$
到達(dá)PQ邊界的速度為：$v=\sqrt{2a{x}_{1}}=\sqrt{2×7.5×\frac{4}{15}}m/s=2m/s$
從PQ到達(dá)MN所需時(shí)間為：t=$\frac{L}{v}=\frac{0.4}{2}s=0.2s$
當(dāng)電場(chǎng)為600V/m時(shí)產(chǎn)生的加速度為：${a}_{1}=\frac{q{E}_{1}-mg}{m}=\frac{1{0}^{-5}×600-4×1{0}^{-3}}{4×1{0}^{-4}}m/{s}^{2}$=5m/s²，方向向上，
當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度為200V/m時(shí)加速度為：${a}_{2}=\frac{mg-q{E}_{1}}{m}=\frac{4×1{0}^{-3}-1{0}^{-5}×200}{4×1{0}^{-4}}m/{s}^{2}$=5m/s²，方向向下
在$\frac{T}{4}$末豎直方向a獲得的速度為：${v}_{1}={a}_{1}•\frac{T}{4}$
到達(dá)$\frac{T}{2}$末豎直方向獲得的速度為：${v}_{2}={v}_{1}-{a}_{2}•\frac{T}{4}=0$
以后一次重復(fù)，故微粒恰好水平擊中屏MN所需時(shí)間為半個(gè)周期的整數(shù)倍，即$\frac{T}{2}•n=t$
解得：$T=\frac{2t}{n}=\frac{2}{5n}$（n=1、2、3、4…）
（3）通過受力分析與運(yùn)動(dòng)分析可知，粒子在OM間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，如果在半個(gè)周期的奇數(shù)倍時(shí)間擊中的位置相同，則在0-$\frac{T}{4}$時(shí)間內(nèi)豎直上升的高度為${h}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}（\frac{T}{4}）^{2}=\frac{1}{40{n}^{2}}$
在$\frac{T}{4}-\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)向上做減速運(yùn)動(dòng)，上升的高度為：${h}_{2}=\frac{{（{a}_{1}•\frac{T}{4}）}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{1}{40{n}^{2}}$
故在0-$\frac{T}{2}$內(nèi)上升的高度為：$h={h}_{1}+{h}_{2}=\frac{1}{20{n}^{2}}$（n=1、2、3、4…）
在$\frac{T}{2}-\frac{T}{4}$時(shí)間內(nèi)粒子有向下做加速和減速運(yùn)動(dòng)，回到O點(diǎn)
故粒子到達(dá)$\frac{1}{20{n}^{2}}$（n=1、2、3、4…）和O點(diǎn)
答：（1）MN左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₁的大小為500V/m
（2）交變電場(chǎng)的周期T和可能取值為$\frac{2}{5n}$其中（n=1、2、3、4…）
（3）在滿足第（2）問的條件下微粒擊中屏MN可能的位置為$\frac{1}{20{n}^{2}}$（n=1、2、3、4…）和O點(diǎn)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了在電場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求的加速度，再結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求的，抓住豎直方向作往復(fù)運(yùn)動(dòng)即可