Question

如圖所示，固定的半圓形絕緣光滑軌道置于正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)疊加的區(qū)域中．軌道半徑為R，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于紙面向外，電磁強(qiáng)度為E，方向水平向左．
（1）一個(gè)質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在軌道上的C點(diǎn)恰好處于靜止，圓弧半徑OC與水平直徑AD的夾角為α（sinα=0.8，cosα=0.6）．求小球所電荷量；試說(shuō)明小球帶何種電荷并陳述理由．
（2）如果將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，小球在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)軌道的最大壓力是多少？
（3）若將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，小球沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，與另一個(gè)質(zhì)量也為m且靜止在O點(diǎn)正下方P點(diǎn)的不帶電小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞過(guò)程歷時(shí)可以忽略且無(wú)機(jī)械能損失也無(wú)電荷轉(zhuǎn)移．兩小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終沒(méi)有脫離圓弧軌道．求第一次碰撞后到第二次碰撞前，兩小球在圓弧軌道上上升的最大高度各是多少？

Answer 1

分析：（1）分析小球在C點(diǎn)的受力情況，由平衡條件確定小球所受的電場(chǎng)力方向，判斷其電性，并求出電量．
（2）將小球從A點(diǎn)由靜止釋放時(shí)，電場(chǎng)力和重力的合力先做正功，后做負(fù)功，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度最大，則動(dòng)能定理求出最大速度．
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可以求出碰撞后兩球的速度，對(duì)于不帶電的球，根據(jù)機(jī)械能守恒可以求出上升的最大高度，對(duì)于帶電的小球根據(jù)動(dòng)能定理求解上升最大高度．

解答：解：（1）小球在C點(diǎn)受重力、電場(chǎng)力和軌道的支持力處于平衡，電場(chǎng)力的方向一定是向左的，與電場(chǎng)方向相同，如圖所示．因此小球帶正電荷
F_Ncosα=qE
F_Nsinα=mg
小球帶電荷量q=

3mg

4E

（2）小球從A點(diǎn)釋放后，沿圓弧軌道下滑，還受方向指向軌道的洛倫茲力F_洛，力F_洛隨速度增大而增大，小球通過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度（設(shè)為v）最大，力F_洛最大，且qE和mg的合力方向沿半徑OA，因此小球?qū)�軌道的壓力最大�?br />由mgRsinα-qER(1-cosα)=

1

2

mv2
通過(guò)C點(diǎn)的速度v=

gR

小球在重力、電場(chǎng)力、洛倫茲力和軌道對(duì)它的支持力作用下沿軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，有F-mgsinα-qEcosα-Bqv=m

v2

R

最大壓力等于支持力F=

(9E+3B gR )mg

4E

（3）小球1從A點(diǎn)滑下到達(dá)P點(diǎn)時(shí)速度為v_p，由動(dòng)能定理
mgR-qER=

1

2

m

v

2 P

可得vP=

2gR

2

小球1與小球2發(fā)生無(wú)機(jī)械能損失的碰撞，碰后速度分別設(shè)為v₁和v₂，由動(dòng)量守恒和能量關(guān)系
mv_P=mv₁+mv₂

1

2

m

v

2 P

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

解方程可得v₁=0，v2=vP=

2gR

2

碰后小球2仍不帶電，向右沿圓軌道上滑，小球2上升的最大高度設(shè)為h₂，由機(jī)械能守恒定律

1

2

m

v

2 2

=mgh2
可得h2=

1

4

R
碰后小球1質(zhì)量和電量都不變，從P點(diǎn)開始無(wú)初速向左沿圓軌道上滑至最高點(diǎn)F，設(shè)∠AOF為β，小球1上升的最大高度為h₁，由動(dòng)能定理
qERcosβ-mgh₁=0
由幾何關(guān)系可得h₁=R-Rsinβ
由以上兩式可得h1=

18

25

R
故答案為：（1）小球帶電荷量q=

3mg

4E

，帶正電荷；
（2）如果將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，小球在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)軌道的最大壓力是

(9E+3B gR )mg

4E

（3）兩小球在圓弧軌道上上升的最大高度分別是h1=

18

25

R和h2=

1

4

R．

點(diǎn)評(píng)：本題是物體的平衡、動(dòng)能定理和牛頓運(yùn)動(dòng)定律綜合應(yīng)用，要學(xué)會(huì)分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并能把握每個(gè)過(guò)程所遵循的物理規(guī)律．