Question

如圖所示，在光滑的水平長直軌道上，有一質(zhì)量為M=3kg、長度為L=2m的平板車以速度v₀=4m/s勻速運(yùn)動．某時(shí)刻將質(zhì)量為m=1kg的小滑塊輕放在平板車的中點(diǎn)，小滑塊與車面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）若小滑塊最終停在平板車上，小滑塊和平板車摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？
（2）若施加一個(gè)外力作用在平板車上使其始終保持速度為v₀=4m/s的勻速運(yùn)動，當(dāng)小滑塊放到平板車中點(diǎn)的同時(shí)，對該小滑塊施加另一個(gè)與平板車運(yùn)動方向相同的恒力F，要保證滑塊不能從平板車的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足什么條件？
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從平板車上掉下，力F的作用時(shí)間應(yīng)該在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

（1）由動量守恒定律得：
Mv₀=（M+m）v
   解得v=

Mv0

m+M

由能量守恒得：Q=

1

2

M

v

20

-

1

2

（M+m）v²=6J
（2）設(shè)恒力F取最小值為F₁，滑塊加速度為a₁，此時(shí)滑塊恰好到達(dá)車的左端，則
滑塊運(yùn)動到車左端的時(shí)間  t₁=

v0

a1

①
由幾何關(guān)系有  v₀t₁-

v0t1

2

=

L

2

②
由牛頓定律有 F₁+μmg=ma₁③
由①②③式代入數(shù)據(jù)解得  t₁=0.5s，F(xiàn)₁=6N
則恒力F大小應(yīng)該滿足條件是  F≥6N
（3）力F取最小值，當(dāng)滑塊運(yùn)動到車左端后，為使滑塊恰不從右端滑出，相對車先做勻加速運(yùn)動（設(shè)運(yùn)動加速度為a₂，時(shí)間為t₂），
再做勻減速運(yùn)動（設(shè)運(yùn)動加速度大小為a₃）．到達(dá)車右端時(shí)，與車達(dá)共同速度．則有
F₁-μmg=ma₂④
μmg=ma₃⑤

1

2

a₂

t

22

+

a 22 t 22

2a3

=L⑥
由④⑤⑥式代入數(shù)據(jù)解得t₂=

3

3

s=0.58s
則力F的作用時(shí)間t應(yīng)滿足  t₁≤t≤t₁+t₂，
即0.5s≤t≤1.08s
答：（1）若小滑塊最終停在平板車上，小滑塊和平板車摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為6J
（2）恒力F大小應(yīng)該滿足 F≥6N
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從平板車上掉下，力F的作用時(shí)間應(yīng)該在0.5s≤t≤1.08s．