Question

（2010?安徽）如圖，ABD為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中AB段是水平的，BD段為半徑R=0.2m的半圓，兩段軌道相切于B點(diǎn)，整個(gè)軌道處在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)大小E=5.0×10³ V/m．一不帶電的絕緣小球甲，以速度v₀沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在B點(diǎn)帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞．已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m=1.0×10^-2kg，乙所帶電荷量q=2.0×10^-5C，g取10m/s²．（水平軌道足夠長(zhǎng)，甲、乙兩球可視為質(zhì)點(diǎn)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程無電荷轉(zhuǎn)移） 
（1）甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點(diǎn)D，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離；
（2）在滿足（1）的條件下．求的甲的速度v₀；
（3）若甲仍以速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)乙受力分析，乙離開最高點(diǎn)之后，做類平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向上勻加速運(yùn)動(dòng)，水平方向上勻速運(yùn)動(dòng)；
（2）由于兩個(gè)球發(fā)生的是彈性碰撞，所以動(dòng)量守恒，機(jī)械能也守恒，列出方程可以求出甲的速度v₀；
（3）B求經(jīng)過D點(diǎn)后的最小的速度應(yīng)該是v_D，再由動(dòng)量守恒分析可得最大的速度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)水平方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可以求得范圍的大�。�

解答：解：（1）在乙恰能通過軌道的最高點(diǎn)的情況下，設(shè)乙到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v_D，乙離開D點(diǎn)到達(dá)水平軌道的時(shí)間為t，乙的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為x，
則由向心力公式得   m

v 2 D

R

=mg+qE      ①
豎直方向勻加速運(yùn)動(dòng)   2R=

1

2

（

mg+qE

m

） t²    ②
水平方向勻速運(yùn)動(dòng)     x=v_Dt          ③
聯(lián)立①②③得：x=0.4m      ④
（2）設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲、v_乙，
根據(jù)動(dòng)量守恒有：
  mv₀=mv_甲+mv_乙 ⑤
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
 

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 甲

+

1

2

m

v

2 乙

          ⑥
聯(lián)立⑤⑥得：v_甲=0，v_乙=v₀          ⑦
由動(dòng)能定理得：-mg?2R-qE?2R=

1

2

mv_D²-

1

2

mv_乙²     ⑧
聯(lián)立①⑦⑧得：v₀=v_乙=

5(mg+qE)R m

=2

5

m/s       ⑨
（3）設(shè)甲的質(zhì)量為M，碰撞后甲、乙的速度分別為v_M、v_m，
根據(jù)動(dòng)量守恒有：
Mv₀=Mv_M+mv_m⑩
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

1

2

M

v

2 0

=

1

2

M

v

2 M

+

1

2

m

v

2 m

有以上兩式可得：v_m=

2Mv0

M+m

由于M?m，可得：v_D≤v_m＜2v_D
設(shè)乙球過D點(diǎn)的速度為v_D^′，
由動(dòng)能定理得  -mg?2R-qE?2R=

1

2

m

v

′2 D

-

1

2

m

v

2 m

聯(lián)立以上兩個(gè)方程可得：2m/s≤v_D^′＜8m/s
設(shè)乙在水平軌道上的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為x'，
則有：x'=v_D^′t
所以可以解得：0.4m≤x'＜1.6m
答：（1）乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離是0.4m；
（2）甲的速度是2

5

m/s；
（3）乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍是0.4m≤x'＜1.6m．

點(diǎn)評(píng)：在本題中物體不僅受重力的作用，還有電場(chǎng)力，在解題的過程中，一定要分析清楚物體的受力和運(yùn)動(dòng)過程，兩球在碰撞過程中動(dòng)量守恒，碰后機(jī)械能守恒，題目中物體的運(yùn)動(dòng)過程比較復(fù)雜，在解題是一定分析清楚運(yùn)動(dòng)過程．