Question

如圖1所示，紙面表示豎直平面，過P點(diǎn)的豎直線MN左側(cè)空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，右側(cè)存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩個(gè)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等．一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球從O點(diǎn)開始以豎直向上的速度v₀拋出，恰能水平地通過P點(diǎn)，到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度大小仍為v₀．從小球到達(dá)P點(diǎn)時(shí)起，在空間施加一個(gè)垂直紙面向外的周期性變化的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的圖象如圖2所示（其中t₁、t₂為未知的量，t2＜

2πm

qB0

），同時(shí)將P點(diǎn)左側(cè)的電場(chǎng)保持大小不變而方向改為豎直向上，經(jīng)過一段時(shí)間又后，小球恰能豎直向上經(jīng)過Q點(diǎn)，已知P、Q點(diǎn)處在同一水平面上，間距為L．（重力加速度為g）

（1）求OP間的距離；
（2）如果磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為已知量，試寫出t₁的表達(dá)式；（用題中所給的物理量的符號(hào)表示）
（3）如果小球從通過P點(diǎn)后便始終能在電場(chǎng)所在空間做周期性運(yùn)動(dòng)，但電場(chǎng)存在理想的右邊界M'N'（即M'N'的右側(cè)不存在電場(chǎng)），且Q點(diǎn)到M'N'的距離為

L

π

．當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)：
a．求此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及小球運(yùn)動(dòng)的最大周期T；
b．畫出小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡．

Answer 1

分析：（1）小球由O到P運(yùn)動(dòng)過程中，豎直方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，用平均速度表示兩個(gè)分位移，即可求出合位移OP的大小．
（2）小球在OP間運(yùn)動(dòng)過程，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律分析得到電場(chǎng)力qE=mg，則知小球通過P點(diǎn)后，在0～t₁時(shí)間內(nèi)沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在t₁～（t₁+t₂）時(shí)間內(nèi)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)．小球恰能豎直向上經(jīng)過Q點(diǎn)，畫出軌跡，可知：t2=

3

4

T0，可求出t₁的表達(dá)式．
（3）小球運(yùn)動(dòng)的速率始終不變，當(dāng)R變大時(shí)，T₀也增加，在小球不飛出電場(chǎng)的情況下，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期T最大時(shí)，圖1中圓軌跡右側(cè)恰好跟M'N'相切，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡的半徑，即可求解磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及周期．

解答：解：（1）小球由O到P運(yùn)動(dòng)過程中，豎直方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，令運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有  t=

v0

g

水平位移  x=

v0+0

2

t=

v 2 0

2g

豎直位移  y=

0+v0

2

t=

v 2 0

2g

所求OP間距離s=

x2+y2

=

2 v 2 0

2g

（2）設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，考慮小球在OP間運(yùn)動(dòng)過程，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律豎直方向：0=v₀-gt
水平方向：v₀=at
         a=

qE

m

可得：qE=mg
上式表明，小球通過P點(diǎn)后，在0～t₁時(shí)間內(nèi)沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在t₁～（t₁+t₂）時(shí)間內(nèi)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)．
設(shè)小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₀，若豎直向上通過Q點(diǎn)，由圖（1）問分析可知必有以下兩個(gè)條件：
  t2=

3

4

T0
  v₀t₁-L=R，
其中R為圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：qv0B=m

v 2 0

R

 T0=

2πR

v0

解得：t1=

L

v0

+

m

qB0

（3）a．小球運(yùn)動(dòng)的速率始終不變，當(dāng)R變大時(shí)，T₀也增加，在小球不飛出電場(chǎng)的情況下，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期T最大時(shí)，圖1中圓軌跡右側(cè)恰好跟M'N'相切，為使小球從通過P點(diǎn)后能做周期性運(yùn)動(dòng)，需滿足t₁=t₂．
有：

L

π

=2R=2

mv0

qB0

解得：B0=

2πmv0

qL

而T0=

2πR

v0

=

2πm

qB0

=

L

v0

可知小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大周期：T=8×

3T0

4

=

6L

v0

b．答圖如圖2所示

答：
（1）OP間的距離是

2 v 2 0

2g

；
（2）如果磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為已知量，t₁的表達(dá)式是

L

v0

+

m

qB0

；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀是

2πmv0

qL

，小球運(yùn)動(dòng)的最大周期T為

6L

v0

；

點(diǎn)評(píng)：本題帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，小球的受力情況，確定研究方法，在重力與電場(chǎng)和復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)用分解法研究，在電場(chǎng)、重力場(chǎng)和磁場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)是基本方法．