Question

2．如圖所示，固定的凹槽水平表面光滑，其內(nèi)放置U形滑板N，滑板兩端為半徑R=0.45m的$\frac{1}{4}$圓弧面．A和D分別是圓弧的端點(diǎn)，BC段表面粗糙，其余段表面光滑．小滑塊P₁和P₂的質(zhì)量均為m．滑板的質(zhì)量M=4m，P₁和P₂與BC面的動摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.10和μ₂=0.20，最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力．開始時滑板緊靠槽的左端，P₂靜止在粗糙面的B點(diǎn)，P₁以v₀=4.0m/s的初速度從A點(diǎn)沿弧面自由滑下，與P₂發(fā)生彈性碰撞后，P₁處在粗糙面B點(diǎn)上．當(dāng)P₂滑到C點(diǎn)時，滑板恰好與槽的右端碰撞并與槽牢固粘連，P₂繼續(xù)運(yùn)動，到達(dá)D點(diǎn)時速度為零．P₁與P₂視為質(zhì)點(diǎn)，取g=10m/s²．問：
（1）P₁和P₂碰撞后瞬間P₁、P₂的速度分別為多大？
（2）P₂在BC段向右滑動時，滑板的加速度為多大？
（3）N、P₁和P₂最終靜止后，P₁與P₂間的距離為多少？

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒可求得P₁與P₂碰前的速度，由動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可求得碰后兩物體的速度；
（2）由牛頓第二定律可求得P₂的加速度；
（3）由機(jī)械能守恒對CD分析可得出P₂滑到C點(diǎn)速度；對三個滑板N、P₁、及P₂在相碰到P₂滑到C點(diǎn)這一過程中，由動量守恒可求得滑塊及P₁的速度；則對整體由功能關(guān)系可求得BC長度L；而碰后兩物體均要運(yùn)動，最后靜止，由動力學(xué)知識可求得兩物體的位移，則可求得兩物體相距的距離．

解答 解：（1）設(shè)P₁滑到最低點(diǎn)速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律有：有：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=5m/s
P₁、P₂碰撞，滿足動量守恒，機(jī)械能守恒定律，設(shè)碰后速度分別為v′₁、v₂．取向右為正方向，由動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得：
  mv₁=mv′₁+mv₂
  $\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv′₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：v′₁=0、v₂=5m/s
（2）P₂向右滑動時，假設(shè)P₁保持不動，對P₂有：f=μ₂mg=2m（向左）
設(shè)P₁、M的加速度為a₂，對P₁、M有：
   f=（m+M）a₂
代入數(shù)據(jù)解之得：a₂=0.4m/s²．
此時對P₁有：f₁=ma₂=0.4m＜f_m=1.0m，所以假設(shè)成立．
故滑塊的加速度為0.4m/s²；
（3）P₂滑到C點(diǎn)速度為v₂′，由mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{′2}$代入數(shù)據(jù)得：
v₂′=3m/s
P₁、P₂碰撞到P₂滑到C點(diǎn)時，設(shè)P₁、M速度為v，由動量守恒定律得：
mv₂=（m+M）v+mv′₂
代入數(shù)據(jù)解得：v=0.40m/s
對P₁、P₂、M為系統(tǒng)：f₂L=$\frac{1}{2}$mv²₂-$\frac{1}{2}$mv′²₂-$\frac{1}{2}$（m+M）v²
代入數(shù)值得：L=3.8m
滑板碰后，P₁向右滑行距離：S₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{v}^{2}}{2{μ}_{1}g}$=$\frac{0．{4}^{2}}{2×1}$=0.08m
P₂向左滑行距離：S₂=$\frac{{v}_{2}^{′2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{{v}_{2}^{′2}}{2{μ}_{2}g}$=$\frac{{3}^{2}}{2×2}$=2.25m
所以P₁、P₂靜止后距離：△S=L-S₁-S₂=1.47m
答：（1）P₁和P₂碰撞后瞬間P₁、P₂的速度分別為0和5m/s．
（2）P₂在BC段向右滑動時，滑板的加速度為0.4m/s²．
（3）N、P₁和P₂最終靜止后，P₁與P₂間的距離為1.47m．

點(diǎn)評 本題為動量守恒定律及能量關(guān)系結(jié)合的綜合題目，難度較大；要求學(xué)生能正確分析過程，并能靈活應(yīng)用功能關(guān)系；合理地選擇研究對象及過程．