Question

16．如圖所示，光滑的AB桿上套一輕質(zhì)彈簧，彈簧一端與桿下端連接于固定的轉(zhuǎn)軸，另一端與套在桿上質(zhì)量為m的小球連接．已知AB桿足夠長，彈簧的原長為l₀，勁度系數(shù)為k，OO'為過B點的豎直線，
桿與水平面間的夾角始終為θ．已知彈簧的彈性勢能公式為E_p=$\frac{1}{2}$kx²其中k為勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．
（1）若桿保持靜止狀態(tài)，讓小球從彈簧的原長位置由靜止釋放，求小球速度最大時彈簧的彈性勢能；
（2）當球隨桿一起繞OO'勻速轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動角速度不同彈簧的長度就會不同，已知球隨桿一起以足夠大的角速度?轉(zhuǎn)動，且在穩(wěn)定的情形下彈簧處于伸長狀態(tài)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動．求此時彈簧伸長量．

Answer 1

分析 （1）小球從彈簧的原長位置靜止釋放時，小球速度最大時其加速度為零，根據(jù)合力為零和胡克定律求解彈簧的壓縮量△l₁，再求彈簧的彈性勢能．
（2）設(shè)彈簧伸長△l₂時，對小球受力分析，根據(jù)向心力公式列式求解．

解答 解：（1）當小球速度最大時，有：：k△l₁=mgsinθ
解得彈簧的壓縮量為：△l₁=$\frac{mgsinθ}{k}$
故小球速度最大時彈簧的彈性勢能 E_p=$\frac{1}{2}$k△l₁²=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{2k}$
（2）設(shè)彈簧伸長量為△l₂，在水平方向上有：
水平方向上有  F_Nsinθ+k△l₂cosθ=mω²（l₀+△l₂）
豎直方向上有  F_Ncosθ=k△l₂sinθ+mg
解得：△l₂=$\frac{m{l}_{0}{ω}^{2}co{s}^{2}θ-mgsinθ}{k-m{ω}^{2}co{s}^{2}θ}$
答：
（1）小球速度最大時彈簧的彈性勢能為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{2k}$．
（2）此時彈簧伸長量為$\frac{m{l}_{0}{ω}^{2}co{s}^{2}θ-mgsinθ}{k-m{ω}^{2}co{s}^{2}θ}$．

點評 本題考查了牛頓第二定律、胡克定律與圓周運動的綜合，要明確小球做勻速轉(zhuǎn)動時，靠合力提供向心力，由靜止釋放時，加速度為零時速度最大．