Question

7．如圖所示，傾角為α=45°的光滑固定斜面恰好在A點與左側另一光滑環(huán)形軌道相切，并且環(huán)形軌道在A點上方恰好開有一小口．已知環(huán)形軌道的半徑為R，O為圓心，整個裝置處在水平向右的勻強電場中，電場強度為E，現(xiàn)在有一個質量為m的帶電小球，以某一速度v₀沿斜面勻速下滑，然后從A點滑入光滑環(huán)形軌道，并且恰好能沿光滑環(huán)形軌道內(nèi)側做圓周運動，重力加速度為g．求：
（1）小球帶何種電荷？電荷量q為多少？
（2）小球的速度v₀多大？

Answer 1

分析 （1）小球在斜面上勻速下滑，合力為零，根據(jù)平衡條件分析小球的電性，并求其電荷量．
（2）根據(jù)小球受力確定等效場的最高點，由牛頓第二定律求通過等效最高點的速度，再由動能定理求出小球的速度v₀．

解答 解：（1）小球在斜面上勻速運動時，受重力、電場力、支持力，電場力水平向右，所以小球帶正電．
根據(jù)平衡條件得：qE=mgtan45°
可得 q=$\frac{mg}{E}$
（2）類比重力場，將電場力與重力的合力視為等效重力mg′，大小為mg′=$\sqrt{2}$mg，方向與斜面垂直向下
要使小球恰能通過圓軌道內(nèi)側做圓周運動，在圓軌道的等效最高點（設為D）點應滿足：等效重力提供向心力，有：mg′=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
根據(jù)幾何關系知，D點與A點關于O點對稱，小球從A運動到D，由動能定理知：
-mg′•2R=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 v₀=$\sqrt{5\sqrt{2}gR}$
答：
（1）小球帶正電荷，電荷量q為$\frac{mg}{E}$．
（2）小球的速度v₀為$\sqrt{5\sqrt{2}gR}$．

點評 解決本題的關鍵確定等效場的最高點，求出最高點的臨界速度，通過動能定理進行研究初速度．