Question

3．如圖所示為一個盛有某種液體的槽，槽的中部扣著一個圓錐形薄壁透明罩，其側(cè)視圖為等邊三角形ACB，罩內(nèi)為空氣，整個罩子恰好全部浸沒在液體中，槽底AB的中點(diǎn)（即圓錐的底面圓心）處有一個點(diǎn)光源D，若槽內(nèi)液體的折射率n=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，等邊三角形ACB的邊長為a，要使點(diǎn)光源D發(fā)出的光不能射出液面，需要把圓錐形透明罩的上部從內(nèi)部涂黑，試求：圓錐形透明罩上部涂黑的面積S．

Answer 1

分析 根據(jù)題目已知條件作出光路圖，通過折射率求出全反射的臨界角，通過幾何關(guān)系求出光發(fā)生全反射時在BC面上的入射角，通過數(shù)學(xué)幾何知識求出圓錐形透明罩上部涂黑的面積S．

解答 解：光路圖如圖所示：

全反射臨界角為C，$sinC=\frac{1}{n}$，
在P點(diǎn)，$n=\frac{sinα}{sinβ}$，C=60°-β，
聯(lián)立解得$sinα=\frac{1}{2}$，則α=30°．
則P為BC邊的中點(diǎn)，故涂黑部分的圓錐體的底面圓的半徑$r=\frac{a}{4}$，母線$l=CP=\frac{a}{2}$，
則涂黑部分的面積為$S=πrl=\frac{π}{8}{a^2}$．
答：圓錐形透明罩上部涂黑的面積S為$\frac{π}{8}{a}^{2}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要掌握全反射的條件，要利用幾何知識結(jié)合進(jìn)行解答，正確作出光路圖是基礎(chǔ)，能熟練運(yùn)用折射定律解答．