Question

19．設(shè)“天宮二號”飛船在繞地球飛行的過程中進(jìn)行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨萮的圓形軌道（不在赤道平面內(nèi)）．已知地球半徑R，地面處的重力加速度g．?試導(dǎo)出飛船在上述圓軌道上運行的周期T的公式（用h、R、g表示）?若地球自轉(zhuǎn)周期為T₀，求“天宮二號”在一天之內(nèi)通過赤道上空的次數(shù)n．

Answer 1

分析 在月球表面，重力和萬有引力相等，飛船在圓形軌道上，萬有引力提供飛船做圓周運動的向心力求出周期表達(dá)式；一個周期“天宮二號”經(jīng)過赤道上空二次，所以一天內(nèi)通過赤道上空的次數(shù)為$\frac{{T}_{0}^{\;}}{T}×2$

解答 解：飛船繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{GM}}$
在地球表面質(zhì)量為m的物體受到的重力等于萬有引力，即
$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$
飛船在圓形軌道上運行的周期$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$
一個周期內(nèi)兩次經(jīng)過赤道上空，天宮二號在一天之內(nèi)經(jīng)過赤道上空的次數(shù)n=2$\frac{{T}_{0}^{\;}}{T}$=$\frac{{T}_{0}^{\;}}{π}\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{3}}}$
答：飛船在上述圓軌道上運行的周期T的公式為$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$，“天宮二號”在一天之內(nèi)通過赤道上空的次數(shù)n為$\frac{{T}_{0}^{\;}}{π}\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{3}}}$．

點評 萬有引力的應(yīng)用兩點注意：（1）星球表面的重力和萬有引力相等；（2）環(huán)繞天體受的萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力．注意軌道半徑和距地面距離的關(guān)系．