Question

中國首個月球探測計劃“嫦娥工程”預(yù)計在2017年送機(jī)器人上月球，實(shí)地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準(zhǔn)備．設(shè)想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實(shí)驗(yàn)儀器：A．計時表一只，B．彈簧秤一把，C．已知質(zhì)量為m的物體一個，D．天平一只（附砝碼一盒）．在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月球做勻速圓周運(yùn)動，宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時間為t．飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機(jī)器人利用所攜帶的儀器又進(jìn)行了第二次測量，科學(xué)家利用上述兩次測量數(shù)據(jù)便可計算出月球的半徑和質(zhì)量．若已知萬有引力常量為G，則：
（1）簡述機(jī)器人是如何通過第二次測量物體在月球所受的重力F
（2）試?yán)�用測量數(shù)據(jù)（用符號表示）求月球的半徑和質(zhì)量．

Answer 1

分析：（1）機(jī)器人在月球上可以用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時秤出物體在月球所受的重力F．
（2）由F=mg_月，可求出月球表面的重力加速度g_月．在月球上忽略月球的自轉(zhuǎn)，物體在月球上的重力近似等于月球的萬有引力，列式得到月球質(zhì)量、半徑與重力加速度的關(guān)系；飛船在繞貼近月球運(yùn)行時，其軌道半徑為月球的半徑R，由萬有引力提供物體做圓周運(yùn)動的向心力，列式得到月球質(zhì)量、半徑與周期的關(guān)系式，聯(lián)立即可求解月球的半徑和質(zhì)量．

解答：解：（1）機(jī)器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）在月球上忽略月球的自轉(zhuǎn)可知  
     F=mg_月，①
     G

Mm

R2

=mg月  ②
飛船在繞月球運(yùn)行時，因?yàn)槭强拷�月球表面，故近似認(rèn)為其軌道半徑為月球的半徑R，由萬有引力提供物體做圓周運(yùn)動的向心力，則有
   G

Mm

R2

=mR

4π2

T2

  ③
又    T=

t

N

  ④
所以，由①、②、③、④式可知月球的半徑   R=

FT2

4π2m

=

Ft2

4π2N2m

月球的質(zhì)量 M=

F3t4

16π4GN4m3

答：
（1）機(jī)器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）月球的半徑為

Ft2

4π2N2m

，質(zhì)量為

F3t4

16π4GN4m3

．

點(diǎn)評：忽略自轉(zhuǎn)的情況下萬有引力等于物體所受的重力，這是經(jīng)常用的方法要注意掌握．對于天體運(yùn)動，關(guān)鍵建立模型，根據(jù)萬有引力提供向心力列式方程，求解有關(guān)物理量．