Question

20．已知某行星半徑為R，以其第一宇宙速度運行的衛(wèi)星的繞行周期為T，圍繞該行星運動的同步衛(wèi)星運行速率為v．則該行星的自轉(zhuǎn)周期為（　　）

• A． $\frac{{2{π^2}{R^2}}}{{T{v^2}}}$
• B． $\frac{{4{π^3}{R^3}}}{v^3}$
• C． $\frac{2πR}{v}$
• D． $\frac{{8{π^3}{R^3}}}{{{T^2}{v^3}}}$

Answer 1

分析 第一宇宙速度的軌道半徑為R，根據(jù)$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R求出GM，再根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$，求出同步衛(wèi)星的高度；行星自轉(zhuǎn)周期等于同步衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)周期，根據(jù)T=$\frac{2πr}{v}$求出自轉(zhuǎn)周期．

解答 解：（1）設同步衛(wèi)星距地面高度為h，則：
$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$…①
以第一宇宙速度運行的衛(wèi)星其軌道半徑就是R，則：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R…②
由①②得：h=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{2}}-R$
行星自轉(zhuǎn)周期等于同步衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)周期：
T=$\frac{2π（R+h）}{v}$=$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$
故選：D

點評 解決本題的關鍵知道第一宇宙速度是衛(wèi)星貼著行星表面做圓周運動的速度，知道衛(wèi)星繞行星做圓周運動靠萬有引力提供向心力．