Question

如圖甲所示，在xOy平面內(nèi)存在磁場(chǎng)和電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間周期性變化，B的變化周期為4t₀，E的變化周期為2t₀，變化規(guī)律分別如圖乙和圖丙所示．在t=0時(shí)刻從O點(diǎn)發(fā)射一帶負(fù)電的粒子（不計(jì)重力），初速度大小為v₀，方向沿y軸正方向．在x軸上有一點(diǎn)A（圖中末標(biāo)出），坐標(biāo)為（

48v0t0

π

，0）．若規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向，y軸正方向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的正方向，v₀、t₀、B₀為已知量，磁感應(yīng)強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小滿足：

E0

B0

=

v0

π

；粒子的比荷滿足：

q

m

=

π

B0t0

．求：
（1）在t=

t0

2

時(shí)，粒子的位置坐標(biāo)；
（2）粒子偏離x軸的最大距離；
（3）粒子運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

分析：根據(jù)洛倫茲力提供向心力和周期公式求粒子的坐標(biāo)；畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，據(jù)此求粒子的最大距離；根據(jù)左周期性運(yùn)動(dòng)的周期，和一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離求時(shí)間．

解答：解：（1）在0～t₀時(shí)間內(nèi)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：
qBv 0=mr1

4π2

T2

=m

v 2 0

r1

得：T=

2πm

qB0

=2t0r1=

mv0

qB0

=

v0t0

π

則在

t0

2

時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角α=

π

2

所以在t=

t0

2

時(shí)，粒子的位置坐標(biāo)為：（

v0t0

π

，

v0t0

π

）
（2）在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)，粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后的速度為v，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示
v=v0+

E0q

m

t0=2v0
運(yùn)動(dòng)的位移：x=

v0+v

2

t0=1.5v0t0
在2t₀～3t₀時(shí)間內(nèi)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑：r2=2r1=

2v0t0

π

故粒子偏離x軸的最大距離：h=x+r2=1.5v0t0+

2v0t0

π

（3）粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)周期為4t₀
一個(gè)周期內(nèi)向右運(yùn)動(dòng)的距離：d=2r1+2r2=

6v0t0

π

AO間的距離為：

48v0t0

π

=8d
所以，粒子運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)的時(shí)間為：t=32t₀
答：（1）在t=

t0

2

時(shí)，粒子的位置坐標(biāo)（

v0t0

π

，

v0t0

π

）；
（2）粒子偏離x軸的最大距離h=x+r2=1.5v0t0+

2v0t0

π

；
（3）粒子運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)的時(shí)間32t₀．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)等共存的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，其受力情況和運(yùn)動(dòng)圖景都比較復(fù)雜，但其本質(zhì)是力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)按力學(xué)的基本思路，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律研究和解決此類問(wèn)題．