Question

如下圖所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點O兩側(cè)的人的序號都為n（n=1、2、3、……）。每人只有一個沙袋。x>0一側(cè)的每個沙袋質(zhì)量為m=14kg,x<0一側(cè)的每個沙袋質(zhì)量為m'=10kg。一質(zhì)量為M=48kg的小車以某初速度從原點出發(fā)向正x方向滑行。不計軌道阻力。當(dāng)車每經(jīng)過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，u的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍（n是此人的序號數(shù)）。

　�。�1）空車出發(fā)后，車上堆積了幾個沙袋時就反向滑行？

　�。�2）車上最終有大小沙袋共多少個？

　　

Answer 1

  （1）3個；　�。�2）11個

 

解析:

　　

　　解析1：

　　本題的主要理論依據(jù)是動量守恒定律，同時結(jié)合推理過程的數(shù)學(xué)歸納法及解不等式。

　�。�1）

　　當(dāng)向右經(jīng)過第1個人時有：Mv₀-m(2×1×v₀)=(M+1m)v₁

　　經(jīng)過第2個人時有：(M+1m)v₁-m(2×2×v₁)=(M+2m)v₂

　　經(jīng)過第3個人時有：(M+2m)v₂-m(2×3×v₂)=(M+3m)v₃

　　按數(shù)學(xué)歸納法，經(jīng)過第n個人時有：[M+(n-1)m]v_n-1-m(2nv_n-1)=(M+nm)v_n

　　解之：v_n= 　 　　　　　　　　　　(1)

　　仍照（1）式，可以推出：v_n-1= 　　 (2)

　　小車反向運動的條件是：v _n-1>0,v_n<0

　　即：M-nm>0,M-(n+1)m<0

　　代入數(shù)字，得：n< , n>

　　n應(yīng)為整數(shù)，故n=3，即車上堆積3個沙袋后車就反向滑行。

　　（2）當(dāng)車上放著3個沙袋，以某一速度設(shè)v'₀，向左滑行時，其物理過程，除最初的質(zhì)量為M+3m，初速為v'₀外完全相同，仍可依照（1）式的結(jié)論，推出：v'_n= 及v'_n-1=

　　車不再向左滑行的條件是：v'_n-1>0, v'_n≤0，

　　即 M-3m-nm'>0；M+3m-(n+1)m'≤0，

　　代入數(shù)字：n<

　　n≥ ，8≤n<9。

　　n=8時，車停止滑行，即在 —側(cè)共有8個沙袋，拋到車上車就停止運動，所以最終車上共有沙袋：3+8=11個。

　　解析2：

　　（1）

　　設(shè)小車在朝x正向滑行過程中，第n-1個沙袋扔上后車速為v_n-1,第n個沙袋扔上后車速為v_n，由動量守恒定律得：

　　[48+14(n-1)]v_n-1-14×2nv_n-1=(48+14n)v_n

　　即v_n=[48-14(n+1)]v_n-1/(48+14n)

　　要使小車反向運動，必須v_n-1>0,v_n<0

　　∴

　　解此不等式組是2.4<n<3.4

　　又因為n為整數(shù)，故n=3,即車上堆積3個沙袋時，車就反向運動。

　　（2）

　　車反向運動時，車的質(zhì)量變?yōu)镸+3m=90kg，設(shè)反向滑行中第n'-1個沙袋扔到車上后車速為v'_n-1，第n個沙袋扔到車上后車速v'_n,由動量守恒定律得：

　　[90+10(n'-1)]n_n-1-10×2n'v'_n-1=(90+10n')v'_n

　　∴v'_n=[90-10(n'+1)]v'_n-1/(90+10n')

　　車不再向左滑行時，必須滿足v'_n-1<0,v'_n≥0

　　∴

　　解此不等式組得8≤n'<9。

　　n'=8時，v'_n=0,車停止滑行，即x<0一側(cè)第8個沙袋扔到車后上就停止運動，此時車上共有沙袋個數(shù)為n+n'=11個。

　　解析3：

　�。�1）

　　設(shè)扔第n個沙袋后車反向滑行，則第n個沙袋扔上車前的動量大小應(yīng)大于此時車的動量大小。

　　即14×2nv_n-1>[48+14(n-1)]v_n-1

　　解得n>2.4，又n為整數(shù)，故n=3，即車上堆積3個沙袋后車就反向運動。

　�。�2）

　　同解析1或解析2

　　說明：

　　上述三種解法中，對解析1是突出了物理過程，對每一個過程列出分過程式，最后得到通式。對解析2是找出了車反向運動的條件，直接列出通式。而解析3是比較沙袋和車的動量大小，得出了車反向運動的條件。思考問題的角度不同，但最后是殊途同歸。

　　不論哪個解法，需研究每個已知條件對于解題的作用，抓主要矛盾，明確關(guān)鍵所在，集中精力突破。從“當(dāng)車經(jīng)過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面反作用到車上，設(shè)u的大小等于此沙袋之前的瞬間車速大小的2n倍�！边@句話可以知道：車從序號為n-1的人身旁以v_n-1的速度駛向序號為n人身旁，車上已有n-1個沙袋，而車從接受了第n個沙袋到從序號為n的人身旁離開的過程中，車及車上的沙袋動量守恒，可列方程：

　　[48+14(n-1)]v_n-1-14×2nv_n-1=(48+14n)v_n

　　許多學(xué)生列出這個方程，但不知所措。其實只要仔細(xì)審題，反復(fù)體會“車反向滑行”這幾個字便可發(fā)現(xiàn)，使車反向滑行的條件是：v_n-1>0,v_n<0。這便是本題的關(guān)鍵所在，突破了這個關(guān)鍵，解決問題就易如反掌了。