Question

游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道運行，游客卻不會掉下來（如圖甲）．我們可以把它抽象成圖乙所示的由曲面軌道和圓軌道平滑連接的模型（不計摩擦和空氣阻力）．若質量為m的小球從曲面軌道上的P點由靜止開始下滑，并且可以順利通過半徑為R的圓軌道的最高點A．已知P點與B點的高度差h=3R，求：
①小球通過最低點B時速度有多大？
②小球通過B點時受到圓軌道支持力有多大？
③小球通過最高點A時的動能有多大？

Answer 1

分析：①欲求B點的速度，只需對于A到B過程應用動能定理或者是機械能守恒都可以；
②先以小球為研究對象，利用牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力，由牛頓第三定律知道小球對軌道的壓力；
③首先求出小球通過最高點A點時的動能，再應用機械能守恒定律就可以了．

解答：解：①設小球通過B點的速度為v₁，根據(jù)機械能守恒定律：
  mgh=

1

2

m

v

2 1

解得：v₁=

2gh

=

6gR

②設小球在B點受到軌道的支持力為F，由牛頓第二定律：
  F-mg=m

v 2 1

R

解得：F=7mg                                 
③設小球通過A點時的動能為E_kA，由機械能守恒定律：
  mgh=mg?2R+E_kA
解得：E_kA=mgR  （或

1

3

mgh）          
答：
①小球通過最低點B時速度為

6gR

．
②小球通過B點時受到圓軌道支持力為7mg．
③小球通過最高點A時的動能為mgR（或

1

3

mgh）．

點評：本題考查動能定理和圓周運動中向心力的分析，第二問中極容易漏掉牛頓第三定律的應用．