Question

9．2015年“總統(tǒng)杯”高爾夫球賽在韓國仁川舉行，在某次比賽中，美國選手羅伯待-斯待布擊球后，球恰好落在洞的邊緣，假定洞內(nèi)表面為半球面，半徑為R，且空氣阻力可忽略，重力加速度為g，把此球以大小不同的初速度v₀沿半徑方向水平擊出，如圖所示，球落到球面上，小球從開始到球面，下列說法正確的是（　�。�

• A． 落在球面上時的最大速度為2$\sqrt{2gR}$
• B． 落在球面上時的最小速度為$\sqrt{\sqrt{3}gR}$
• C． 小球的運動時間與v₀大小無關(guān)
• D． 無論調(diào)整v₀大小為何值，球都不可能垂直擊在球面上

Answer 1

分析 小球做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，時間由下落的高度決定，當(dāng)小球落在c點時運動的時間最長；當(dāng)水平位移大于圓環(huán)的半徑時，小球會落在cb段；重力的功率由重力和豎直分速度的乘積分析．根據(jù)速度的反向延長線交于水平位移的中點，分析小球能否垂直撞擊圓環(huán)．

解答 解：平拋運動豎直方向的分運動是自由落體運動，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
AB、設(shè)小球落在A點時，OA與豎直方向之間的夾角為θ，水平方向的位移為x，豎直方向的位移為y，水平方向的初速度為v₀，到達(dá)a點時豎直方向的速度為v_y，則；

則：x=v₀t=Rsinθ，$y=\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}=Rcosθ$
得：${v}_{y}^{2}=2gRcosθ$，${v}_{0}\sqrt{\frac{2Rcosθ}{g}}=Rsinθ$
又由：${v}_{t}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
聯(lián)立得：${v}_{t}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gRcosθ}$=$\sqrt{\frac{Rg•si{n}^{2}θ}{2cosθ}+2gRcosθ}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}cosθ+\frac{1}{2cosθ}）Rg}$
所以落在球面上時的小球有最小速度，當(dāng)$\frac{3}{2}cosθ=\frac{1}{2cosθ}$時，最小速度為$\sqrt{\sqrt{3}gR}$．故A錯誤，B正確．
C、由以上的分析可知，小球下落的時間：t=$\frac{{v}_{t}}{g}$=$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}}{{g}^{2}}+\frac{2Rcosθ}{g}}$．與小球的初速度有關(guān)．故C錯誤；
D、小球撞擊在圓面時，速度方向斜向右下方，根據(jù)“中點”結(jié)論可知，由于O不在水平位移的中點，所以小球撞在圓環(huán)上的速度反向延長線不可能通過O點，也就不可能垂直撞擊圓環(huán)．故D正確．
故選：BD．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，能巧妙運用“中點”的推論分析小球速度的方向，也可以結(jié)合運動學(xué)公式列式進(jìn)行分析．