Question

19．設(shè)火星半徑為地球的$\frac{1}{4}$倍，火星表面的重力加速度是地球的$\frac{1}{6}$倍，求：
（1）火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？
（2）火星的密度是地球密度的多少倍？

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是星球表面衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據(jù)重力等于向心力列式比較；
（2）在星球表面，根據(jù)重力等于萬有引力列式；再結(jié)合密度的定義列式；聯(lián)立得到星球密度的表達(dá)式進(jìn)行分析即可．

解答 解：（1）第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的速度，根據(jù)重力等于向心力，有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
故火星的第一宇宙速度與地球第一宇宙速度的比值為：$\frac{{v}_{火}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{g}_{火}{R}_{火}}{{g}_{地}{R}_{地}}}=\sqrt{\frac{1}{6}×\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$；
（2）在星球表面，重力等于萬有引力，故有：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
星球的密度為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
聯(lián)立得到：$ρ=\frac{3g}{4πGR}$
故$\frac{{ρ}_{火}}{{ρ}_{地}}=\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{火}}=\frac{1}{6}×4=\frac{2}{3}$
答：（1）火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{6}}{12}$倍；
（2）火星的密度是地球密度的$\frac{2}{3}$倍．

點評 本題考查了重力加速度的決定式、第一宇宙速度的表達(dá)式，關(guān)鍵是記住兩點：在地球表面重力等于萬有引力；衛(wèi)星的萬有引力提供向心力．