Question

13．如圖所示，一壓縮的輕彈簧左端固定，右端與一滑塊相接觸但不拴接，滑塊質(zhì)量為m，A點(diǎn)左側(cè)地面光滑，滑塊與水平地面AB段間的動摩擦因數(shù)為0.2，AB的長度為5R，現(xiàn)將滑塊由靜止釋放，當(dāng)滑塊被彈到A點(diǎn)時彈簧恰恢復(fù)原長，之后滑塊繼續(xù)向B點(diǎn)滑行，并滑上光滑的半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道BC．在C點(diǎn)正上方有一離C點(diǎn)高度也為R的旋轉(zhuǎn)平臺，沿平臺直徑方向開有兩個離軸心距離相等的小孔P、Q，平臺旋轉(zhuǎn)時兩孔均能達(dá)到C點(diǎn)的正上方．若滑塊滑過C點(diǎn)后從P孔穿出，又恰能從Q孔穿過落回．已知壓縮的輕彈簧具有的彈性勢能為4.5mgR．空氣阻力可忽略不計(jì)，求：
（1）滑塊通過B點(diǎn)時對地板的壓力；
（2）平臺轉(zhuǎn)動的角速度ω應(yīng)滿足什么條件（用g、R表示）?
（3）小物體最終停在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？（假設(shè)小物體每次與彈簧碰撞時沒有機(jī)械能損失）

Answer 1

分析 （1）對滑塊運(yùn)動過程又有動能定理求得在B處的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（2）根據(jù)動能定理求得通過小孔時的速度，然后由勻變速運(yùn)動規(guī)律求得通過兩孔的時間間隔，即可求得角速度；
（3）由動能定理求得速度得到物塊的運(yùn)動過程，然后應(yīng)用動能定理求得在AB上運(yùn)動的總路程，即可由運(yùn)動過程求得最終位置．

解答 解：（1）滑塊運(yùn)動到B的過程只有彈簧彈力和摩擦力做功，故由動能定理可得：${E}_{p}-5μmgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{7gR}$；
那么，對滑塊在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=7mg$；
故由牛頓第三定律可得：滑塊通過B點(diǎn)時對地板的壓力N=F_N=8mg；
（2）滑塊從B到平臺小孔處的運(yùn)動過程只有重力做功，故機(jī)械能守恒，則有：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以，滑塊在小孔處的速度$v=\sqrt{3gR}$；
滑塊在小孔上方只受重力做功，故滑塊穿過P、Q的時間間隔$t=2\frac{v}{g}=\sqrt{\frac{12R}{g}}$；
平臺轉(zhuǎn)動的角速度$ω=\frac{（2n+1）π}{t}=\frac{（2n+1）π}{2}\sqrt{\frac{g}{3R}}，n=0，1，2，3…$；
（3）設(shè)小物塊第二次沖上BC，在B處的速度為v_B′，那么，對小物塊從靜止開始的運(yùn)動過程應(yīng)用動能定理可得：${E}_{p}-3μmg•5R=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}$；
故$\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}=1.5mgR＜2mgR$，小物塊不能再次到達(dá)平臺高度；
那么，小物塊整個運(yùn)動過程中，只有彈簧彈力、摩擦力做功，設(shè)物塊在AB上通過的路程為x，則由動能定理可得：E_p-μmgx=0，故$x=\frac{4.5mgR}{0.2mg}=22.5R=4×5R+2.5R$；
所以，小物體最終停在距A點(diǎn)2.5R處．
答：（1）滑塊通過B點(diǎn)時對地板的壓力為8mg；
（2）平臺轉(zhuǎn)動的角速度$ω=\frac{（2n+1）π}{2}\sqrt{\frac{g}{3R}}，n=0，1，2，3…$；?
（3）小物體最終停在距A點(diǎn)2.5R處．

點(diǎn)評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．