Question

20. （1）如圖1，在光滑水平長(zhǎng)直軌道上，放著一個(gè)靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各聯(lián)結(jié)一個(gè)小球構(gòu)成，兩小球質(zhì)量相等.現(xiàn)突然給左端小球一個(gè)向右的速度v₀，求彈簧第一次恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，每個(gè)小球的速度.

（2）如圖2，將N個(gè)這樣的振子放在該軌道上，最左邊的振子1被壓縮至彈簧為某一長(zhǎng)度后鎖定，靜止在適當(dāng)位置上，這時(shí)它的彈性勢(shì)能為E₀，其余各振子間都有一定的距離.現(xiàn)解除對(duì)振子1的鎖定，任其自由運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它第一次恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，剛好與振子2碰撞，此后，繼續(xù)發(fā)生一系列碰撞，每個(gè)振子被碰后剛好都是在彈簧第一次恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)與下一個(gè)振子相碰.求所有可能的碰撞都發(fā)生后，每個(gè)振子彈性勢(shì)能的最大值.已知本題中兩球發(fā)生碰撞時(shí)，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度.

Answer 1

20.（1）設(shè)每個(gè)小球質(zhì)量為m，以u₁、u₂分別表示彈簧恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)左右兩端小球的速度.由動(dòng)量守恒和能量守恒定律有

mu₁+mu₂=mu₀   （以向右為速度正方向）

解得    u₁=u₀，u₂=0或u₁=0，u₂=u₀

由于振子從初始狀態(tài)到彈簧恢復(fù)到自然長(zhǎng)度的過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球持續(xù)減速，使右端小球持續(xù)加速，因此應(yīng)該取解：u₁=0，u₂=u₀.

（2）以v₁、分別表示振子1解除鎖定后彈簧恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)左右兩小球的速度.規(guī)定向右為速度的正方向，由動(dòng)量守恒和能量守恒定律，

 

解得，或， .

在這一過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應(yīng)取解：

，

振子1與振子2碰撞后，由于交換速度，振子1右端小球速度變?yōu)?，左端小球速度仍為v₁，此后兩小球都向左運(yùn)動(dòng).當(dāng)它們向左的速度相同時(shí)，彈簧被拉伸至最長(zhǎng)，彈性勢(shì)能最大.設(shè)此速度為v₁₀，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，2mv₁₀=mv₁

用E₁表示最大彈性勢(shì)能，由能量守恒有

解得   E₁=E₀

振子2被碰撞后瞬間，左端小球速度為，右端小球速度為0.以后彈簧被壓縮，當(dāng)彈簧再恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，根據(jù)（1）題結(jié)果，左端小球速度v₂=0，右端小球速度=，與振子3碰撞，由于交換速度，振子2右端小球速度變?yōu)?,振子2靜止，彈簧為自然長(zhǎng)度，彈性勢(shì)能為E₂=0.

同樣分析可得  E₂=E₃=……E_N－1=0

振子N被碰撞后瞬間，左端小球速度=，右端小球速度為0，彈簧處于自然長(zhǎng)度，此后兩小球都向右運(yùn)動(dòng)，彈簧被壓縮，當(dāng)它們向右的速度相同時(shí)，彈簧被壓縮至最短，彈性勢(shì)能最大，設(shè)此速度為v_N0，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，

2mv_N0=m

用E_N表示最大彈性勢(shì)能，根據(jù)能量守恒，有

 

解得   E_N=E₀