Question

8．如圖所示，在以O(shè)為圓心，半徑為R=10$\sqrt{3}$cm的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)水平方向的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度大小為B=0.10T，方向垂直紙面向外．豎直平行放置的兩個(gè)金屬板A、K連在如下圖所示的電路中．電源電動勢E=91V，內(nèi)阻r=1.0Ω，定值電阻R₁=10Ω，滑動變阻器R₂的最大阻值為80Ω，S₁、S₂為A、K板上的兩個(gè)小孔，且S₁、S₂與O都在同一水平直線上，另有一水平放置的足夠長的熒光屏D，O點(diǎn)跟熒光屏D之間的距離為H=3R．比荷（帶電粒子的電量與質(zhì)量之比）為2.0×10⁵C/kg的帶正電的粒子由S₁進(jìn)入電場后，通過S₂向磁場中心射去，通過磁場后落到熒光屏D上．粒子進(jìn)入電場的初速度、重力均可忽略不計(jì)．
（1）如果粒子垂直打在熒光屏上的P點(diǎn)，電壓表的示數(shù)為多大？
（2）調(diào)節(jié)滑動變阻器滑片P的位置，求粒子打到熒光屏的范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直打在熒光屏上的P點(diǎn)時(shí)，在磁場中運(yùn)動軌跡必定為四分之一圓弧，由幾何關(guān)系得其運(yùn)動半徑為R，由洛倫茲力提供向心力，可得運(yùn)動速度，對于加速過程，由動能定理可得加速電壓，此即兩板間的電壓
（2）滑動片在最左端時(shí)，有歐姆定律可解得結(jié)果，極板間電壓最小，在最右端時(shí)電壓最大，電壓的變化會引起加速后速度達(dá)到變化，進(jìn)而影響圓周運(yùn)動的半徑變化，故射出磁場時(shí)的偏角改變，射出磁場后粒子做勻速直線運(yùn)動，可得粒子到打到光屏的范圍．

解答 解：（1）設(shè)離子由電場射出后進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v．因離子是沿圓心O的方向射入磁場，由對稱性可知，離子射出磁場時(shí)的速度方向的反向延長線也必過圓心O．離開磁場后，離子垂直打在熒光屏上（圖中的O′點(diǎn)），則離子在磁場中速度方向偏轉(zhuǎn)了90°，由幾何知識可知，離子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑
r′=R=10$\sqrt{3}$cm①
設(shè)離子的電荷量為q、質(zhì)量為m，進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v有
由qvB=m$\frac{{mv}_{\;}^{2}}{r′}$得
r′=$\frac{mv}{qB}$②
設(shè)兩金屬板間的電壓為U，離子在電場中加速，由動能定理有：
qU=${\frac{1}{2}}^{\;}$mv²③
而$\frac{q}{m}$=2×10⁵C/kg ④
由②③兩式可得
U=$\frac{{{B}^{2}r′}^{2}q}{2m}$⑤
代入有關(guān)數(shù)值可得U=30V，也就是電壓表示數(shù)為30V．
（2）當(dāng)滑動變阻器滑動頭在左端時(shí)，由歐姆定律得：
U₁=${\frac{E}{{R}_{1}{+R}_{2}+r}}_{\;}$R₁=$\frac{91}{10+80+1}×10$v=10V，
qU₁=$\frac{1}{2}$${mv}_{1}^{2}$
${r}_{1}=\frac{{mv}_{1}}{qB}$
解得：r₁=10cm，粒子進(jìn)入磁場后的軌跡為圖甲
由幾何關(guān)系得偏轉(zhuǎn)角為θ₁=120°，故α=60°，
打在熒光屏上的M點(diǎn)，$MO′=\frac{H}{\sqrt{3}}$=30cm
當(dāng)滑動頭在右端時(shí)，由歐姆定律得：
U₂=${\frac{E}{{R}_{1}{+R}_{2}+r}}_{\;}$（R₁+R₂）=90V
qU₂=$\frac{1}{2}$${mv}_{2}^{2}$
${r}_{2}=\frac{{mv}_{2}}{qB}$
解得r₂=30cm，粒子進(jìn)入磁場后的軌跡為圖乙，由幾何關(guān)系得，
偏轉(zhuǎn)角θ₂=60°，故β=60°，打在熒光屏上的N點(diǎn)，且：
O$O′N=\frac{H}{\sqrt{3}}=30cm$
故，調(diào)節(jié)滑動變阻器滑片P的位置，粒子到打到光屏的范圍為60cm
答：（1）粒子垂直打在熒光屏上的P點(diǎn)，電壓表的示數(shù)為30V
（2）粒子到打到光屏的范圍為60cm

點(diǎn)評 本題分析離子的運(yùn)動情況是求解的關(guān)鍵和基礎(chǔ)，考查綜合應(yīng)用電路、磁場和幾何知識，處理帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動問題的能力，綜合性較強(qiáng)．
要注意粒子在電場中一般考查運(yùn)動的合成與分解或功能關(guān)系；而磁場中的問題，要注意幾何關(guān)系的確定，明確圓心和半徑的確定方法．