Question

10．粗糙絕緣的水平面附近存在一個(gè)平行于水平面的電場(chǎng)，其中某一區(qū)域的電場(chǎng)線與x軸平行，且沿x軸方向的電勢(shì)φ與坐標(biāo)值x的關(guān)系如下表格所示：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x/m	0.05	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45
φ/（×105 V）	9.00	4.50	3.00	2.25	1.80	1.50	1.29	1.13	1.00

根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)可作出如圖所示的φ-x圖象．

現(xiàn)有一質(zhì)量為m=0.10kg、電荷量為q=1.0×10^-7C、帶正電荷的滑塊P（可視作質(zhì)點(diǎn)），其與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.20，g取10m/s²．問：
（1）由數(shù)據(jù)表格和圖象給出的信息，寫出沿x軸的電勢(shì)φ與x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式．
（2）若將滑塊P 無初速度地放在x₁=0.10m處，則滑塊最終停止在何處？
（3）在上述第（2）問的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，滑塊P 的加速度如何變化？當(dāng)它位于x=0.15m時(shí)它的加速度為多大？（電場(chǎng)中某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為φ-x圖線上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的斜率大�。�
（4）若滑塊P從x=0.60m 處以初速度v₀ 沿x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，要使滑塊恰能回到出發(fā)點(diǎn)，其初速度v₀應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）電勢(shì)φ與坐標(biāo)x圖象是一條曲線，則φ與x關(guān)系可能是反比關(guān)系，即φ∝x^-1；也可能φ與x²關(guān)系可能是反比關(guān)系，即φ∝x^-2；…，依此類推，直到找到關(guān)系為止；
（2）滑塊運(yùn)動(dòng)過程中，只有電場(chǎng)力和滑動(dòng)摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解即可；
（3）由于圖象的切線的斜率表示電場(chǎng)強(qiáng)度，故場(chǎng)強(qiáng)逐漸變小，電場(chǎng)力逐漸變小；
電場(chǎng)力大于摩擦力時(shí)，物體加速，當(dāng)電場(chǎng)力減小到等于摩擦力時(shí)，速度最大，此后電場(chǎng)力小于摩擦力，故物體開始減速，即滑塊先由靜到動(dòng)，后由動(dòng)到靜，故先加速后減速．
（4）對(duì)滑塊從最左側(cè)位置返回出發(fā)點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式．再對(duì)從開始出發(fā)到出發(fā)點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，求初速度v₀．

解答 解：（1）由數(shù)據(jù)表格和圖象可得，電勢(shì)ϕ與x成反比關(guān)系，即φ=$\frac{k}{x}$；
當(dāng)x=0.1m時(shí)，電勢(shì)φ=4.5V，代入上述公式，得到：k=4.5×10⁴Vm
故沿x軸的電勢(shì)ϕ與x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為：ϕ=$\frac{4.5×1{0}^{4}}{x}$V．
（2）滑塊運(yùn)動(dòng)的全部過程中，只有電場(chǎng)力和摩擦力做功，由動(dòng)能定理得：
W_F+W_f=△E_K=0
設(shè)滑塊停止的位置為x₂，電勢(shì)為ϕ₂，有：
q（ϕ₁-ϕ₂）-μmg（x₂-x）=0
即q（$\frac{4.5×1{0}^{4}}{{x}_{1}}$-$\frac{4.5×1{0}^{4}}{{x}_{2}}$）-μmg（x₂-x）=0
代入數(shù)據(jù)為：1.0×10^-7×（$\frac{4.5×1{0}^{4}}{0.1}$-$\frac{4.5×1{0}^{4}}{{x}_{2}}$）-0.20×0.10×10（x₂-0.1）=0
可解得：x₂=0.225m（舍去x₂=0.1m）
故滑塊最終停止在坐標(biāo)為0.225m的位置．
（3）滑塊在整個(gè)過程中先做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，后做加速度增大的變減速運(yùn)動(dòng)．即加速度先減小后增大．
當(dāng)它位于x=0.15m時(shí)，圖象上該點(diǎn)的切線斜率的大小表示場(chǎng)強(qiáng)大�。篍=$\frac{△φ}{△x}$=$\frac{3×1{0}^{5}}{0.15}$N/C=2.0×10⁶ N/C
滑塊在該點(diǎn)的水平合力為：F_X=Eq-μmg=2.0×10⁶×1.0×10^-7-0.20×0.10×10=0
故滑塊的加速度為：a=$\frac{{F}_{x}}{m}$=0
故在上述第（2）問的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，它的加速度先變小后變大；當(dāng)它位于x=0.15m時(shí)它的加速度為零．
（4）設(shè)滑塊P到達(dá)最左側(cè)位置為x′，電勢(shì)為φ′．則對(duì)滑塊從最左側(cè)位置返回到出發(fā)點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得：
W_F+W_f=△E_k=0
有：q（ϕ′-ϕ）-μmg（x-x′）=0
即有：q（$\frac{4.5×1{0}^{4}}{x′}$-$\frac{4.5×1{0}^{4}}{x}$）-μmg（x-x′）=0
代入數(shù)據(jù)解得：x′=0.0375m（x′=0.6m舍去）
再對(duì)滑塊從開始出發(fā)到返回出發(fā)點(diǎn)的整個(gè)過程，由動(dòng)能定理得：
-2μmg（x-x′）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m/s
答：（1）由表格中的數(shù)據(jù)和圖象給出的信息，寫出沿x軸的電勢(shì)φ與坐標(biāo)值x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為ϕ=$\frac{4.5×1{0}^{4}}{x}$V．
（2）若將滑塊無初速度地放在x=0.10m處，則滑塊最終停止在最終停止在坐標(biāo)為0.225m的位置；
（3）在上述第（2）問的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，它的加速度先變小后變大；當(dāng)它位于x=0.15m時(shí)它的加速度為零．
（4）要使滑塊恰能回到出發(fā)點(diǎn)，其初速度v₀應(yīng)為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要明確φ-x圖象中任意一點(diǎn)的切線的斜率表示電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，由于是變加速運(yùn)動(dòng)，然后對(duì)各個(gè)過程分別運(yùn)用動(dòng)能定理列式研究．