Question

18．如圖所示，在xoy平面內(nèi)，有一個(gè)圓形區(qū)域的直徑AB 與x軸重合，圓心O′的坐標(biāo)為（2a，0），其半徑為a，該區(qū)域內(nèi)無磁場(chǎng)． 在y軸和直線x=3a之間的其他區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸上某點(diǎn)射入磁場(chǎng)．不計(jì)粒子重力．
（1）若粒子的初速度方向與y軸正向夾角為60°，且粒子不經(jīng)過圓形區(qū)域就能到達(dá)B點(diǎn)，求粒子的初速度大小v₁；
（2）若粒子的初速度方向與y軸正向夾角為60°，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為△t=$\frac{πm}{3Bq}$，且粒子也能到達(dá)B點(diǎn)，求粒子的初速度大小v₂；
（3）若粒子的初速度方向與y軸垂直，且粒子從O′點(diǎn)第一次經(jīng)過x軸，求粒子的最小初速度v_min．

Answer 1

分析 （1）粒子不經(jīng)過圓形區(qū)域就能到達(dá)B點(diǎn)，故粒子到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度豎直向下，圓心必在x軸正半軸上，由幾何關(guān)系確定半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律確定粒子的初速度；
（2）若粒子的初速度方向與y軸正向夾角為60°，粒子到達(dá)B點(diǎn)的速度與x軸夾角β=30°，由幾何知識(shí)確定半徑，由牛頓第二定律求粒子的初速度大小v₂；
（3）若粒子的初速度方向與y軸垂直，且粒子從O′點(diǎn)第一次經(jīng)過x軸，由幾何關(guān)系得到r與θ的關(guān)系式，由數(shù)學(xué)知識(shí)求得半徑最小值．

解答 解：（1）粒子不經(jīng)過圓形區(qū)域就能到達(dá)B點(diǎn)，故粒子到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度豎直向下，
圓心必在x軸正半軸上，設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁，由幾何關(guān)系得：r₁sin30°=3a-r₁，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：v₁=$\frac{2qBa}{m}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心角為為：α=$\frac{△t}{T}×360°=60°$，
粒子到達(dá)B點(diǎn)的速度與x軸夾角β=30°，
設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₂，由幾何關(guān)系得：
3a=2r₂sin30°+2acos²30°，
由牛頓第二定律得：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：v₂=$\frac{3qBa}{2m}$；
（3）設(shè)粒子從C點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，O′C與O′A夾角為θ，
軌跡圓對(duì)應(yīng)的半徑為r，由幾何關(guān)系得：2a=rsinθ+acosθ，
故當(dāng)θ=60°時(shí)，半徑最小為r_m=$\sqrt{3}$a，
由牛頓第二定律得：qv_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{{r}_{m}}$，
解得：v_m=$\frac{\sqrt{3}qBa}{m}$；
答：（1）粒子的初速度大小是$\frac{2qBa}{m}$；
（2）粒子的初速度大小是$\frac{3qBa}{2m}$；
（3）粒子的最小初速度是$\frac{\sqrt{3}qBa}{m}$；．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的突破口是知道以直徑為斜邊的內(nèi)接圓一定是直角三角形從而確定出D點(diǎn)的半徑過A點(diǎn)，然后由幾何關(guān)系求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑從而可以順利求解速度大小．