Question

13．如圖所示，在O點(diǎn)懸有一根長(zhǎng)R的細(xì)繩，繩上端穿有一個(gè)小球B，小球能順著繩子下滑，下滑過程所受摩擦阻力是小球B的重力的k倍（k＜1）．在O點(diǎn)下方有一個(gè)半徑也為R的光滑圓弧軌道，圓心恰好在O點(diǎn)，圓弧的最低點(diǎn)是O′．在圓弧上非常接近O′處有另外一個(gè)小球A，小球A和B都可以視為質(zhì)點(diǎn)．現(xiàn)將A、B兩球同時(shí)無(wú)初速釋放，已知A球第2次到達(dá)平衡位置時(shí)正好和B球相碰．求：
（1）從釋放到相碰經(jīng)歷的時(shí)間t；
（2）k的大�。�

Answer 1

分析 球A的運(yùn)動(dòng)是類似單擺運(yùn)動(dòng)，球B勻加速下降，運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性；先根據(jù)單擺周期公式得到時(shí)間，然后根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，最后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．

解答 解：（1）球A的運(yùn)動(dòng)是類似單擺運(yùn)動(dòng)，A第一次擺到最低點(diǎn)時(shí)間為：t₁=$\frac{T}{4}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$；
A需要再經(jīng)過半個(gè)周期才能第二次到達(dá)平衡位置，則：${t}_{2}=\frac{1}{2}T=π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$
所以：t=t₁+t₂=$\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$
（2）對(duì)球B，就牛頓第二定律，有：mg-f=ma；
根據(jù)題意，有：f=kmg；
根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式，有：R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$；
聯(lián)立以上四式可解得：k=$\frac{9{π}^{2}-8}{9{π}^{2}}$
答：（1）從釋放到相碰經(jīng)歷的時(shí)間是$\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（2）k的大小是$\frac{9{π}^{2}-8}{9{π}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題巧妙地將單擺模型和勻加速直線運(yùn)動(dòng)模型聯(lián)系在一起考慮，關(guān)鍵是運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，不難．