Question

（10分）如圖所示，質(zhì)量為m的小球，由長為l的細(xì)線系住，細(xì)線的另一端固定在A點(diǎn)，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點(diǎn)，且AE=0.5l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，若線能承受的最大拉力是9mg，現(xiàn)將小球拉直水平，然后由靜止釋放，若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動，不計(jì)線與釘子碰撞時的能量損失．求釘子位置在水平線上的取值范圍．

Answer 1

答案：l≤x≤l．

解析：這是一個圓周運(yùn)動與機(jī)械能兩部分知識綜合應(yīng)用的典型問題．題中涉及兩個臨界條件：一是線承受的最大拉力不大于9mg；另一個是在圓周運(yùn)動的最高點(diǎn)的瞬時速度必須不小于（r是做圓周運(yùn)動的半徑）．設(shè)在D點(diǎn)繩剛好承受最大拉力，設(shè)DE=x₁，則：AD=

懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運(yùn)動的半徑為：r₁=l－AD= l－……①

當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v，由牛頓第二定律有：

F－mg=……②     結(jié)合F≤9mg可得：≤8mg…………③   

由機(jī)械能守恒定律得：mg (+r₁)=mv₁²即：v²=2g (+r₁)……④   

由①②③式聯(lián)立解得：x₁≤l…………………⑤ 

隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運(yùn)動的半徑越來越大．轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的臨界速度也越來越大，但根據(jù)機(jī)械能守恒定律，半徑r越大，轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的瞬時速度越小，當(dāng)這個瞬時速度小于臨界速度時，小球就不能到達(dá)圓的最高點(diǎn)了．

設(shè)釘子在G點(diǎn)小球剛能繞釘做圓周運(yùn)動到達(dá)圓的最高點(diǎn)，設(shè)EG=x₂，如圖，則：AG=

r₂=l－AG= l－……………⑥     在最高點(diǎn)：mg≤…………⑦   

由機(jī)械能守恒定律得：mg (r₂)=mv₂²…………⑧     由④⑤⑥聯(lián)立得：x₂≥l……………⑨   

在水平線上EF上釘子的位置范圍是：l≤x≤l