Question

2．在上百米高空的摩天大樓中，因普通電梯牽引鋼繩太長(zhǎng)形成很多技術(shù)因素（圖a），因此人們?cè)O(shè)計(jì)了電磁驅(qū)動(dòng)的方式牽引電梯．圖b所示為電磁驅(qū)動(dòng)的一種簡(jiǎn)化原理：光滑的平行長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌置于豎直面內(nèi)，間距為L(zhǎng)、導(dǎo)軌下端接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒（相當(dāng)于電梯車(chē)廂）垂直跨接在導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì)，且接觸良好．在導(dǎo)軌平面上存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)磁場(chǎng)以速度v₁勻速向上移動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒隨之運(yùn)動(dòng)并很快達(dá)到恒定速度．設(shè)導(dǎo)體棒始終處于磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)．求

（1）導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v₂；
（2）導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，克服重力做功的功率和電路中消耗的電功率；
（3）若t=0時(shí)磁場(chǎng)由靜止開(kāi)始水平向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)較短時(shí)間后，導(dǎo)體棒也做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其v-t關(guān)系如圖c所示，已知在時(shí)刻t導(dǎo)體棒的瞬時(shí)速度大小為v，求導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒相對(duì)磁場(chǎng)的速度為△v=v₁-v₂，由感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BL△v知電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律和平衡條件知速度v₂；
（2）根據(jù)P=Fv列式求解即可
（3）導(dǎo)體棒也做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明安培力不變，即產(chǎn)生的感應(yīng)電流不變，知導(dǎo)體棒相對(duì)磁場(chǎng)速度不變，設(shè)共同加速度為a，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律和（1）中公式求解加速度．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒相對(duì)磁場(chǎng)的速度為△v=v₁-v₂①
產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BL△v②
感應(yīng)電流I=$\frac{E}{R}$③
F=BIl④
當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)：F=mg⑤
由①②③④⑤知v₂=$\frac{mgR+{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，
克服重力做功的功率P_G=mgv₂=mg•$\frac{mgR+{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}+mg{v}_{1}$；
電路中消耗的電功率P_電=Fv₂=mgv₂=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}+mg{v}_{1}$
（3）若t=0時(shí)磁場(chǎng)由靜止開(kāi)始水平向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)較短時(shí)間后，導(dǎo)體棒也做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明安培力不變，即產(chǎn)生的感應(yīng)電流不變，知導(dǎo)體棒相對(duì)磁場(chǎng)速度不變，設(shè)加速度為a，則
磁場(chǎng)速度為v₁=at⑥
導(dǎo)體棒速度為v₂=a（t-t₀）=v⑦
當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)：F-mg=ma⑧
由①②③④⑥⑦⑧解得a=$\frac{mgR+{B}^{2}{L}^{2}v}{{B}^{2}{L}^{2}{t}_{\;}-mR}$
答：（1）導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v₂為$\frac{mgR+{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，克服重力做功的功率和電路中消耗的電功率均為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}+mg{v}_{1}$；
（3）導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為$\frac{mgR+{B}^{2}{L}^{2}v}{{B}^{2}{L}^{2}{t}_{\;}-mR}$．

點(diǎn)評(píng) 與新科技背景相聯(lián)系的題目是考試的熱點(diǎn)，注意發(fā)掘與哪部分知識(shí)相聯(lián)系，明確運(yùn)動(dòng)過(guò)程和適用的規(guī)律，本題中切割磁感線的速度為兩者的相對(duì)速度，問(wèn)題考查較細(xì)，因此要細(xì)心．