Question

在豎直平面內(nèi)建立一平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸沿水平方向，如圖甲所示．坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向豎直向上，場(chǎng)強(qiáng)為E₁，磁場(chǎng)方向垂直紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=

3+ 3

10

，方向按圖乙所示規(guī)律變化（以垂直紙面向外的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�向），第二象限�?nèi)有一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E₂=2E₁．一個(gè)比荷

q

m

=10²C/kg的帶正電的粒子（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v₀=4m/s的速度在-x上的A點(diǎn)豎直向上拋出，恰能以v₁=8m/s速度從+y上的C點(diǎn)水平進(jìn)入第一象限．取粒子剛進(jìn)入第一象限時(shí)t=0，g=10m/s²，試求：

（1）AC間電勢(shì)差U_AC．
（2）為確保粒子不再越過(guò)OC進(jìn)入第二象限，則交變磁場(chǎng)周期最大值T_m為多少？若磁場(chǎng)周期為上述最大值，粒子打到+x上D點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），此時(shí)OD長(zhǎng)L₀為多少？

Answer 1

分析：（1）將粒子在第二象限內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，得出兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求出帶電微粒運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的縱坐標(biāo)值h及電場(chǎng)強(qiáng)度E₁，從而可求得AC間電勢(shì)差；
（2）當(dāng)交變磁場(chǎng)周期取最大值而粒子不再越過(guò)y軸時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系求出T_m和L₀

解答：解：（1）設(shè)OC高為h，OA長(zhǎng)為L(zhǎng)，粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，則
-mgh=0-

1

2

m

v

2 0

qE₁L=

1

2

m

v

2 1

L=

1

2

v1t1，h=

1

2

v0t1
代入數(shù)據(jù)可得：h=0.8m，L=1.6m，E₁=0.2V/m，
所以U_AC=E₁L=0.32V
（2）粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)時(shí)因mg-qE₁=0，
故粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)圓軌道半徑為R，周期為T(mén)．
則qv₁B₀=

m v 2 1

R

可得R=

0.8

3+ 3

m，即R=

h

3+ 3

 由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB0

，代入B₀得：
T=

π(3- 3 )

30

 s                                 
當(dāng)交變磁場(chǎng)周期取最大值而粒子不進(jìn)入第一象限時(shí)可作如圖運(yùn)動(dòng)情形：

由圖可知T₀=

5

6

T=

(3- 3 )π

36

s
L₀=2R=

4(3- 3 )

15

m 
答：（1）AC間電勢(shì)差為0.32V．
    （2）交變磁場(chǎng)周期最大值為 

(3- 3 )π

36

s； OD長(zhǎng)

4(3- 3 )

15

m

點(diǎn)評(píng)：本題中質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況是解題的基礎(chǔ)．結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的周期性以及臨界狀態(tài)，運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)綜合求解．