Question

3．一絕緣U形桿由兩段相互平行的足夠長(zhǎng)的直桿PQ、MN和一半徑為R的光滑半圓環(huán)MAP組成，固定在豎直平面內(nèi)，其中MN桿是光滑的，PQ桿是粗糙的，現(xiàn)將一質(zhì)量為m的帶正電荷的小環(huán)（重力大于摩擦力）套在MN上．將小環(huán)由D點(diǎn)靜止釋放，如圖所示．
（1）若小環(huán)帶正電，小環(huán)所受電場(chǎng)力是重力的$\sqrt{3}$倍，則穩(wěn)定后的一個(gè)周期內(nèi)，通過(guò)的弧長(zhǎng)？
（2）若小環(huán)帶正電，小環(huán)所受電場(chǎng)力是重力的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，則穩(wěn)定后小環(huán)對(duì)軌道的最大壓力？

Answer 1

分析 （1）小球剛好到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，速度為零，對(duì)小球從D點(diǎn)到P點(diǎn)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解x．
（2）設(shè)B點(diǎn)時(shí)壓力最大，根據(jù)動(dòng)能定理可明確B點(diǎn)的速度，再根據(jù)壓力最大時(shí)，合力應(yīng)沿徑向方向列式，再聯(lián)立向心力公式求得壓力大�。�

解答 解：（1）帶電小環(huán)穩(wěn)定后只在光滑半圓環(huán)中運(yùn)動(dòng)，并且在P點(diǎn)的速度為零，由于電場(chǎng)力大于重力，帶電小環(huán)運(yùn)動(dòng)不到A點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)到半圓環(huán)右側(cè)的最低點(diǎn)與圓心的連線和豎直方向的夾角為θ₁，由動(dòng)能定理可得：mgRcosθ₁-qE₁R（1-sinθ₁）=0
由題意得：qE₁=$\sqrt{3}$mg，
聯(lián)立解得：θ₁=$\frac{π}{6}$
一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的弧長(zhǎng)為：s=2×R（$\frac{π}{2}$-θ₁）=$\frac{πR}{3}$
（2）設(shè)帶電小環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力最大，B點(diǎn)與圓心的連線與豎直方向的夾角為θ₂，對(duì)帶電小環(huán)從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理得：
mgRcosθ₂-qE₂R（1-sinθ₂）=$\frac{1}{2}$mv_B²
在B點(diǎn)沿切線的合力為零，即：mgsinθ₂-qE₂cosθ₂=0
在B點(diǎn)由牛頓第二定律得：F_N-$\frac{mg}{cos{θ}_{2}}$=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
由題意可知：qE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg，
聯(lián)立解得：F_N=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$mg，
由牛頓第三定律可得帶電小環(huán)對(duì)軌道的壓力大小為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$mg，方向背離圓心．
答：（1）若小環(huán)帶正電，小環(huán)所受電場(chǎng)力是重力的$\sqrt{3}$倍，則穩(wěn)定后的一個(gè)周期內(nèi)，通過(guò)的弧長(zhǎng)為$\frac{2π}{3}$R；
（2）若小環(huán)帶正電，小環(huán)所受電場(chǎng)力是重力的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，則穩(wěn)定后小環(huán)對(duì)軌道的最大壓力為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$mg

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，要注意明確本題中小球還受到重力作用，應(yīng)注意正確應(yīng)用等效場(chǎng)進(jìn)行分析求解．