Question

18．如圖所示，AB是豎直平面內(nèi)的光滑四分之一圓弧軌道，O點(diǎn)是圓心，OA水平，B點(diǎn)是圓軌道的最低點(diǎn)，半徑為R=0.2m．質(zhì)量為M=1kg的物體乙靜止在水平地面上，上表面水平，且上表面正好與圓弧軌道的B點(diǎn)相切，質(zhì)量為m=0.5kg的物體甲（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止釋放，已知甲與乙的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.5，乙與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.1，重力加速度大小取10m/s²．
（1）求甲在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小；
（2）若甲未從乙的右端掉下去，求乙的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）A到B的過(guò)程中機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒求出B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律即可求出甲受到的支持力；
（2）甲做減速運(yùn)動(dòng)，乙先做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)二者的速度相等后再一起做減速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合受力分析與牛頓第二定律求出加速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出．

解答 解：（1）A到B的過(guò)程中機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.2}=2$m/s
 在B點(diǎn)甲受到的支持力與重力的合力提供向心力，所以：
${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：F_N=15N
由牛頓第三定律可知，甲對(duì)軌道的壓力也是15N．
（2）甲在乙上相當(dāng)于乙運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受到的摩擦力：
f₁=μ₁mg=0.5×0.5×10=2.5N
乙與地面之間的摩擦力：
f₂=μ₂（m+M）g=0.1×（0.5+1）×10=1.5N
由于乙與地面之間的摩擦力小于甲與乙之間的摩擦力，所以在甲做減速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，乙將向右做加速運(yùn)動(dòng)，加速度：
${a}_{2}=\frac{{f}_{1}-{f}_{2}}{M}=\frac{2.5-1.5}{1}=1m/{s}^{2}$
甲的加速度：${a}_{1}=\frac{-{f}_{1}}{m}=\frac{-2.5}{0.5}=-5m/{s}^{2}$
二者速度相等需要的時(shí)間t₁，則：v₀+a₁t₁=a₂t₁
代入數(shù)據(jù)得：${t}_{1}=\frac{1}{3}$s
此時(shí)的速度：$v={a}_{2}{t}_{1}=1×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$m/s
此后乙繼續(xù)減速，若甲也隨乙一起減速，則甲受到的摩擦力：
f₃=ma₂=0.5×1=0.5N＜f₁
可知假設(shè)是正確的，甲與乙一起減速，加速度：
${a}_{3}=\frac{-{f}_{2}}{m+M}=\frac{-1.5}{0.5+1}=-1m/{s}^{2}$
減速到0的時(shí)間：
${t}_{2}=\frac{0-v}{{a}_{3}}=\frac{0-\frac{1}{3}}{-1}=\frac{1}{3}$s
所以乙運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$s
答：（1）甲在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小是15N；
（2）若甲未從乙的右端掉下去，乙的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是$\frac{2}{3}$s．

點(diǎn)評(píng) 該題是機(jī)械能守恒、圓周運(yùn)動(dòng)、勻加速直線運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的典型題型，要注意分析長(zhǎng)木板的運(yùn)動(dòng)情況，該題難度適中．