Question

已知地球半徑為R，一只靜止在赤道上空的熱氣球（不計(jì)氣球離地高度）繞地心運(yùn)動(dòng)的角速度為ω₀，在距地面h高處圓形軌道上有一顆人造地球衛(wèi)星，設(shè)地球質(zhì)量為M，熱氣球的質(zhì)量為m，人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量為m₁，根據(jù)上述條件，有一位同學(xué)列出了以下兩個(gè)方程：
對(duì)熱氣球有：GmM/R ²=mω₀²R    對(duì)人造衛(wèi)星有：Gm₁M/（R+h）²=m₁ω²（R+h）
進(jìn)而求出了人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的角速度ω．你認(rèn)為該同學(xué)的解法是否正確？若認(rèn)為正確，請(qǐng)求出結(jié)果；若認(rèn)為錯(cuò)誤，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件后，再求出ω．

Answer 1

分析：那個(gè)氣球的整個(gè)條件都是沒用的，用來混淆視線的，這里衛(wèi)星的角速度無法通過氣球來求．只是這個(gè)題是找錯(cuò)題，他對(duì)氣球的解答是錯(cuò)的，他錯(cuò)在對(duì)氣球的受力分析上，氣球受的萬有引力不全是提供向心力，而是一部分與浮力平衡，而在求衛(wèi)星角速度上，他不起什么作用．
要求出人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的角速度ω，我們應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件后列出等式表示出GM．

解答：解：第一個(gè)等式（對(duì)熱氣球）解法不正確，因?yàn)闊釟馇虿煌�于人造衛(wèi)星，熱氣球靜止在空中是因?yàn)楦×εc重力平衡．它受地球的引力并不等于它繞地心所需的向心力．
（1）若利用第一宇宙速度v₁，有  

GMm1

R2

=

m1 v 2 1

R

與第二個(gè)等式聯(lián)立可得ω=v₁

R (R+h)3

     
（2）若已知地球表面的重力加速度g，設(shè)地球質(zhì)量為M，熱氣球質(zhì)量為m，人造衛(wèi)星質(zhì)量為m₁ 對(duì)熱氣球有：

GMm

R2

=mg 對(duì)人造衛(wèi)星有：

GMm1

(R+h)2

=m₁ω²（R+h） 
聯(lián)立上兩式解得：
ω=

g(R+h) R

(R+h)2

．
（3）若利用同步衛(wèi)星的離地高度H有：

GMm

(R+H)2

=mω₀²（R+H）
與第二個(gè)等式聯(lián)到可得：ω=ω₀(

R+H

R+h

)

3

2

答：該同學(xué)的解法是不正確．
若利用第一宇宙速度v₁，ω=v₁

R (R+h)3

．
若已知地球表面的重力加速度g，ω=

g(R+h) R

(R+h)2

若利用同步衛(wèi)星的離地高度H，ω=ω₀(

R+H

R+h

)

3

2

．
補(bǔ)充其它條件解法正確給全分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了萬有引力在天體中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于找出向心力的來源，并能列出等式解題．
要注意熱氣球受地球的引力并不等于它繞地心所需的向心力．