Question

3．如圖所示，長為L的輕桿OA可繞過O點的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，其端點A固定著一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點），小球系這一跨過定滑輪B，C的不可伸長的輕繩，繩的另一端系一物塊．滑輪的半徑和質(zhì)量可以忽略，B在O點的正上方．系統(tǒng)在圖示位置靜止時，桿與豎直墻面間的夾角θ=37°，BA⊥OA，若物塊的質(zhì)量減少為原來的$\frac{1}{3}$，由圖示位置靜止釋放小球，桿將繞O軸順時針轉(zhuǎn)動，不計一切摩擦，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g．求：（提示：在本題中，輕桿靜止受到小球的作用力方向始終沿桿方向）
（1）物塊的質(zhì)量M；
（2）當小球剛運動到最低點時桿的角速度大小為ω．

Answer 1

分析 （1）系統(tǒng)在圖示位置靜止時，OA力矩平衡，列式可求出繩子的拉力，從而得到物塊的質(zhì)量M．
（2）當小球剛運動到最低點時物塊的速度為0，以物塊和小球及繩子組成的系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒求解．

解答 解：（1）系統(tǒng)在圖示位置靜止時，設(shè)此時繩子的拉力大小為F，則有
  F=Mg
以O(shè)A桿為研究對象，以O(shè)點轉(zhuǎn)軸，由力矩平衡條件得：
   FL=mgLsin37°
聯(lián)立解得 M=0.6m
（2）若物塊的質(zhì)量減少為原來的$\frac{1}{3}$，桿OA將順時針轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，以物塊和小球及繩子組成的系統(tǒng)為研究對象，由于只有重力做功，系統(tǒng)的機械能守恒．
當小球剛運動到最低點時物塊的速度為0，由系統(tǒng)的機械能守恒得：
  mg（L+Lcos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{3}$Mg（2L-Ltan37°）
又 v_A=Lω
聯(lián)立解得ω=$\sqrt{\frac{3.1g}{L}}$
答：
（1）物塊的質(zhì)量M為0.6m；
（2）當小球剛運動到最低點時桿的角速度大小ω為$\sqrt{\frac{3.1g}{L}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵判斷出小球剛運動到最低點時物塊的速度為0，運用系統(tǒng)的機械能守恒研究速度問題．對于第1問，也可以球為研究對象，由共點力平衡求解．