Question

游樂場(chǎng)的過山車可以抽象成如圖1所示的模型：圓弧軌道的下端與圓軌道相接于M點(diǎn)，使一質(zhì)量為m的小球從弧形軌道上距M點(diǎn)豎直高度為h處滾下，小球進(jìn)入半徑為R的圓軌道下端后沿該圓軌道運(yùn)動(dòng)．實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，只要h大于一定值，小球就可以順利通過圓軌道的最高點(diǎn)N．不考慮摩擦等阻力．
（1）若h=5R，求小球通過M點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）若改變h的大小，小球通過最高點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E_k也隨之改變，試通過計(jì)算在E_k-h圖2中作出E_k隨h變化的關(guān)系圖象．

Answer 1

分析：（1）小球由高度為h=5R處下落至到達(dá)M點(diǎn)過程中，軌道的支持力不做功，只有重力做功，運(yùn)用機(jī)械能守恒列式，即可求出小球通過M點(diǎn)時(shí)的速度大�。�小球通過M點(diǎn)時(shí)由重力和軌道的支持力的合力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出支持力，再由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）根據(jù)根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解得到E_k與h的關(guān)系式，結(jié)合臨界條件并畫出圖象．

解答：解：（1）下滑過程中，有：mgh=

mvM2

2

  
在M點(diǎn)，有：F_支-mg=m

vM2

R

 
解得：F_壓=F_支=11mg    
（2）從下滑到N點(diǎn)，有：mgh'=E_k=

1

2

mv_N²
即：mg（h-2R）=E_k   
因小球要能通過N點(diǎn)，應(yīng)有：mg≤

mvM2

R

 
故  h'≥

1

2

R，即 h≥

5

2

R   
則E_k隨h變化的關(guān)系圖象如圖所示．
答：（1）小球通過M點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為11mg；
（2）作出E_K隨h的變化關(guān)系式為mg（h-2R）=E_k   
圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是明確小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，知道圓軌道最高點(diǎn)重力和支持力的合力提供向心力，同時(shí)要結(jié)合機(jī)械能守恒定律列式求解即可．