Question

12．如圖所示，傾角為θ的光滑斜面底端固定一彈性擋板P，將小滑塊A和B從斜面上距擋板P分別為l和3l的位置同時(shí)由靜止釋放，A與擋板碰撞后以原速率返回；A與B的碰撞時(shí)間極短且無機(jī)械能損失．已知A的質(zhì)量為3m、B的質(zhì)量為m，重力加速度為g，滑塊碰撞前后在一條直線上運(yùn)動(dòng)，忽略空氣阻力及碰撞時(shí)間，將滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，求：
（1）兩滑塊第一次相碰的位置；
（2）兩滑塊第一次相碰后，B與擋板的最遠(yuǎn)距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出兩個(gè)滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度．由位移公式求出A運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間，由速度公式求得A運(yùn)動(dòng)到P的速度．再根據(jù)相遇時(shí)位移關(guān)系列式，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再由位移公式求解兩滑塊第一次相碰的位置到P的距離．
（2）先結(jié)合上題的結(jié)果，由速度公式求出兩滑塊碰撞前瞬間的速度，再根據(jù)彈性碰撞的規(guī)律：動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒列式，求得碰后瞬間兩者的速度．再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求B與擋板的最遠(yuǎn)距離．

解答 解：（1）兩滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度相同，設(shè)為a，由牛頓第二定律有：
mgsinθ=ma
得：a=gsinθ
設(shè)A運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間為t₁，速度為v₁，則有：
l=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，v₁=at₁．
解得：t₁=$\sqrt{\frac{2l}{a}}$，v₁=$\sqrt{2al}$
A與擋板碰撞后，以速率v₁沿斜面向上滑動(dòng)，設(shè)A球再經(jīng)過時(shí)間t₂與B相遇，相遇點(diǎn)到P的距離為x．由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得：
x=v₁t₂-$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
B在斜面上做勻加速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有：
3l-x=$\frac{1}{2}a（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$
解得：t₂=$\sqrt{\frac{l}{2a}}$，x=$\frac{3}{4}$l
（2）設(shè)A與B碰撞前的速度大小分別為v_A和v_B．則有：
v_A=v₁-at₂．
v_B=a（t₁+t₂）
解得：v_A=$\sqrt{\frac{al}{2}}$，方向沿斜面向上．v_B=3$\sqrt{\frac{al}{2}}$，方向沿斜面向下．
設(shè)A與B碰撞后的速度分別為v_A′和v_B′，規(guī)定沿斜面向上為正方向，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有：
3mv_A-mv_B=3mv_A′+mv_B′
$\frac{1}{2}•$3mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}•$3mv_A′²+$\frac{1}{2}$mv_B′²
解得：v_A′=-$\sqrt{\frac{al}{2}}$，v_B′=3$\sqrt{\frac{al}{2}}$
第一次相碰后，B上滑的距離為x_B，則有：
0-v_B′²=-2ax_B．
B與擋板的最遠(yuǎn)距離為：
x_m=x+x_B
解得：x_m=3l
答：（1）兩滑塊第一次相碰的位置到P的距離為$\frac{3}{4}$l；
（2）兩滑塊第一次相碰后，B與擋板的最遠(yuǎn)距離是3l．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是理清兩個(gè)滑塊的運(yùn)動(dòng)過程，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式邊計(jì)算邊分析，要把握相遇時(shí)兩者的位移關(guān)系，這是解題的關(guān)鍵．