Question

如圖所示，一水平直軌道CF與半徑為R的半圓軌道ABC在C點(diǎn)平滑連接，AC在豎直方向，B點(diǎn)與圓心等高．一輕彈簧左端固定在F處，右端與一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的小鐵塊甲相連．開始時(shí)，彈簧為原長(zhǎng)，甲靜止于D點(diǎn)．現(xiàn)將另一與甲完全相同的小鐵塊乙從圓軌道上B點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)D點(diǎn)與甲碰撞，并立即一起向左運(yùn)動(dòng)但不粘連，它們到達(dá)E點(diǎn)后再返回，結(jié)果乙恰回到C點(diǎn)．已知CD長(zhǎng)為L(zhǎng)₁，DE長(zhǎng)為L(zhǎng)₂，EC段均勻粗糙，ABC段和EF段均光滑，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)．
（1）求直軌道EC段與物塊間動(dòng)摩擦因素．
（2）要使乙返回時(shí)能通過最高點(diǎn)A，可在乙由C向D運(yùn)動(dòng)過程中過C點(diǎn)時(shí)，對(duì)乙加一水平向左恒力，至D點(diǎn)與甲碰撞前瞬間撤去此恒力，則該恒力至少多大？

Answer 1

（1）設(shè)乙與甲碰前瞬間速度為v₁，碰后瞬間速度為v₂，甲乙一起返回到D時(shí)速度為v₃．
乙從B到D有 mgR-umgL1=

1

2

mv12  ①
碰撞過程由動(dòng)量守恒得   mv₁=2mv₂ ②
甲乙從D到E再回到D有 -μ?2mg?2L2=

1

2

2mv32-

1

2

2mv22  ③
乙從D到C 有          -μmgL1=-

1

2

mv32  ④
聯(lián)立解得 μ=

R

5L1+8L2

（2）設(shè)對(duì)乙加的最小恒力為F
從B到D有 mgR+FL1-μmgL1=

1

2

mv42  ⑤
碰撞過程由動(dòng)量守恒得    mv₄=2mv₅ ⑥
甲乙從D到E再回到D有  -μ?2mg?2L2=

1

2

2mv62-

1

2

2mv52  ⑦
乙從D到A有  -mg?2R-μmgL1=

1

2

mvA2-

1

2

mv62  ⑧
在A點(diǎn)有      mg=

mvA2

R

  ⑨
聯(lián)立⑤⑥⑦⑧⑨解得   F=

10mgR

L1

答：
（1）直軌道EC段與物塊間動(dòng)摩擦因素為

R

5L1+8L2

．
（2）要使乙返回時(shí)能通過最高點(diǎn)A，可在乙由C向D運(yùn)動(dòng)過程中過C點(diǎn)時(shí)，對(duì)乙加一水平向左恒力，至D點(diǎn)與甲碰撞前瞬間撤去此恒力，則該恒力至少為

10mgR

L1

．